函數與導數相結合的解題策略

張 斌

(江蘇省豐縣歡口中學 221711)

一、與函數圖像的切線有關

近年來，將函數的切線作為解題關鍵的題型也日漸增多，這種考法同學們需要掌握牢固.

由此可以得到P1(-1,e-1)，P2(1,1)，將P1(-1,e-1)代入，就可以求得切線l1的方程式為:y-e+1=-e(x+1)，整理得到：y=-ex-1.

同理，將P2(1,1)代入，可以得到切線l2的方程式為：y-1=2(x-1)，整理得到：y=2x-1.

分析很明顯，此題主要考查分段函數的圖像及其切線，不僅包含了導數的幾何意義，還與數形結合的思想以及曲線的切線方程相結合，出題點新奇，知識交叉深，綜合性較強.如果一個函數的切線方程表示為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，那么必須滿足(x0,f(x0))在曲線上的一點這個條件，一般來說，曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))的切線斜率，這些是f′(x0)的幾何意義.

二、與函數不等式的解集相關

導數相關知識近年來在高考中的頻率也有所提升，通過導數知識解決函數問題是高中生必須要掌握的內容.

例題2 已知定義域為R的函數f(x)滿足其導數函數為f′(x)，并且滿足f(x)=f′(x)+1，f(0)=2020，那么不等式ex+2019

A(2019，+∞) B.(-∞，2020)

C.(0，2019) D.(-∞，0)

解此題可以從構造函數入手，假設e-xf(x)=g(x)>e-x，那么就可以求出g(x)的導函數為g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)+1]，又根據題意可知，g(x)在定義域R上單調遞減，當x=0時，代入g(x)可以得到g(0)=f(0)-1=2019，因此可以得到：e-xf(x)>e-x+2019，這個不等式與g(x)>g(0)，且有x<0.所以這道題的正確答案是D選項.

分析這道題的核心是抽象函數，主要將不等式的解集、利用導數符號來判斷函數的單調性等相結合，再用構造函數法求解，既考查了學生的邏輯推理能力，又訓練了學生的直觀想象能力，以及利用導數相關知識構造函數的能力，知識與能力的考查都在這道題中體現出來了.

三、與函數的極值有關

函數的極值相關問題，也是近幾年的高考熱點，要注意函數的極值點概念和導數的零點概念的區分，還要注意檢驗f′(x)在導數零點周圍的符號，同時還需關注相同符號舍去，不同符號保留的原則.

例題3 如果一個函數f(x)=axlnx-ex有一個唯一的極值點，求實數a的取值范圍是多少？

解根據題目所給條件可得：f′(x)=alnx+a-ex=0有一個唯一的正實數根，也就是ex=alnx+a.

首先假設ex=g(x)，alnx+a=h(x)，將g(x)、h(x)的圖像分別表示出來，如下圖所示，通過觀察可以發現，這兩個函數的圖像都只有唯一一個公共點并且都在第一象限.

圖1 圖2

若是g(x)>h(x)，那么成立的條件是x一定在x0的周圍，并且a要大于0，此時，f′(x)>0，保留符號，此時f(x)的極值點不是x0.如果a小于0時，在x0的周圍，f′(x)異號.因此，終上所述，這時函數f(x)的唯一極值點是x0.

所以(-∞,0)是實數a的取值范圍.

分析這個題目中alnx+a-ex=0就相等于f′(x)=0，要想直接得到這個方程的唯一正實數根是很困難的，所以我們需要變換思路：把這個方程分為ex=g(x)和axlnx-ex=h(x)這兩個函數，再合理利用這兩個函數圖像僅有一個交點，即極值點旁邊周圍的f′(x)不同號，進而可求出參數a的取值范圍.

方法將x=sinx代入得：f(sinx)=sin2x-asinx+b.

綜上所述，(-2,2)是a的取值范圍，R是b的取值范圍.

函數與導數相結合的考查方式十分特別，也是高考考察的重點和難點，對學生的綜合能力要求特別高，學生在學習過程中要多積累不同的題型，如利用導數求函數的切線、單調性、極值、最值、函數的零點，以及利用函數的導數，構造新函數進一步求解不等式等等一些綜合類題型.

數形結合思想是解決導數問題的常用方法，特別是求單調性和極值時，借助導函數的圖像來確定單調性進一步求極值和最值是最優方法.分類討論思想是在求解導數與函數相結合類問題中最常見思想，根據導函數根的位置不同進行討論單調性，進一步求極值或最值，然后再解決恒成立或存在性問題.對各類導數與函數相結合的問題，平常學習中要善于總結和歸類，這樣才能做到事半功倍.