四種策略解三角形最值問題

陳映森 劉延霞

(1.云南師范大學數學學院 650500；2.贛南師范大學數學與計算機科學學院 341603)

一、題根研究

(1)求角B的大小;

(2)解法1基本不等式法，將所求用“邊”表示

解法2三角函數的有界性法，將所求用“角”表示

點評在解三角形的題型時常常要用到“化角為邊”或者“化邊為角”，此題通過三角形的正弦定理將邊關系用角的關系表示，再通過三角函數的有界性去求解最值問題.

解法3幾何法，利用動點的幾何性質求解

圖1

點評通過數形結合和幾何性質，將解三角形面積的最值問題，等價為圓上動點問題，進而得出結論.

解法4三角換元法，利用換元代替求解

點評此方法類似三角函數的有界性，但是思想與解法二有所不同，最終運算方法相同，解法2應用的正弦定理，而解法4是通過構造參數方程的方法求解，主要思想是換元.

二、變式訓練

點評通過余弦定理，利用(a+c)2-2ac=a2+c2，構造出a+c的式子，利用基本不等式再將ac轉化為只含有a+c的關系式子.

點評此題的解題思想是將邊的關系式轉化為只含有角的關系式，利用三角函數的有界性即可.

解法3 延長BC到點A′，使得A′B=AB=c連接A′A,轉化成求求A′C的最大值.

圖2

點評幾何法是歸到動點問題，無論面積還是周長，都可以通過數形結合的方法構造出運動軌跡，從而進行求解.

三、解后反思

總之，解三角形最值問題的這四種策略，有相似之處，也有它們不同的地方.面對變化多端的題型，我們需要從不同的角度挖掘，理解題目的本質，考查的知識點是哪些，思考這個問題后再選擇合適的方法去解題.相對來說，學生可以根據自身對知識點的掌握程度合理地去選擇方法.