巧轉化 妙思想
——一道三元最值題的破解策略

田 峰

(安徽省合肥方了個田教育科技有限責任公司 230031)

在近年的高考題與模擬題中，經常會碰到求解雙變元或多變元的代數式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時也多樣.著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”而當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.下面結合結合一道三變元最值題來加以實例剖析，結合多維角度切入，達到殊途同歸.

分析涉及已知關系式下的三變元代數式的最值題，一個基本的思維方向就是通過已知關系式加以轉化，利用基本不等式等方式加以處理與轉化，其中離不開基本不等式、不等式的性質的應用與綜合.而如何進行不等式的放縮，可以借助不同的工具，巧妙利用數學思想來指導：整體思想、減元思想、齊次思想、二次函數思想以及轉化思想等，采取不同的方法來處理，進而得以突破.

故S的最小值是4.

思想指導2(減元思想)利用基本不等式可得1-z2=x2+y2≥2xy，進而通過三元代數式的減元思維，把代數式轉化為含有參數z的關系式，利用相應的基本不等式來確定三元代數式的最值問題.

故S的最小值是4.

思想指導3(齊次思想)結合x2+y2+z2=1，通過分子中“1”的轉化，利用二次式的展開，轉化為相應的齊次式，并利用齊次式的應用，結合多次應用基本不等式來放縮，進而得以確定三元代數式的最值問題.

故S的最小值是4.

思想指導4 (二次函數思想)結合基本不等式的轉化2xy≤x2+y2，并利用z2=1-(x2+y2)，把相應的代數式轉化為含有x2+y2的二次函數問題，利用二次函數的圖象與性質來巧妙確定三元代數式的最值問題.

故S的最小值是4.

故S的最小值是4.

思想指導6(轉化思想2)巧妙借助x2+y2+z2=1，利用“1”的代換，結合基本不等式的變形公式(a+b)2≥4ab，a2+b2≥2ab，通過相應三元代數式的轉化，進行多次轉化與應用來確定代數式的最值問題.

故S的最小值是4.

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”