巧解圓錐曲線的離心率問題的策略

李 霞

(黑龍江省大慶中學 163000)

一、直求a、c法

例1現有長、短軸分別為6和4的橢圓，求其離心率.

二、一體思路法

三、定義解題法

定義解題法是巧用離心率與圓錐曲線相關定義的一種解題技巧.若題中已有相關的線段長度等，便可將已知的數據與可用的定義相結合，進而解出離心率.

例4F1、F2為橢圓的兩焦點，過F2的一條垂線與橢圓較長的那一軸交于P點，且△F1PF2是兩腰等值的直角三角形，求橢圓離心率.

圖1

四、公式解題法

若上述方法均行不通，則可以巧妙運用等式或不等式的解題策略.具體步驟為：首先根據題目的已知點，列出符合題意的不等式或等式，然后將其全部轉換為只有a、c的式子，再將a、c消去，轉為只剩e的等式或不等式，最后解出離心率.

圖2

∵△ABF2兩腰等值，當其為銳角三角形時，則△AF2B為銳角，∴∠ΔAF2F1<45°，即AF1

∴16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4,

∴16a2-16a2c2+3c4=0,

∴(4a2-c2)(4a2-3c2)=0,

∴4a2-c2=0,或4a2-3c2=0,

解∵F2(c,0)為右焦點，∴l:y=k(x-c).當x=0時，y=-ck，∴P(0，-ck),∵B是F2P的中點，

此外，圓錐曲線中的離心率問題也亦有其它可行的策略，高中數學老師在加以運用的時候不僅要關注給定材料的特點，還要注意分析學生對離心率知識已有的認知，在其思維水平內選擇解決圓錐曲線離心率問題的最佳策略.