構造圓求解平面向量模的最值和范圍問題

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

平面向量作為一種重要的數學工具，具有代數和幾何的雙重特性，這就導致求解平面向量問題方法的多樣性和復雜性.在各地的高考和高三模擬試題中，經常出現平面向量模的最值和范圍問題，這類問題若用代數方法求解，首先需要將向量問題轉化為代數問題，然后綜合運用函數和不等式的知識求解，往往比較復雜.我們也可以借助平面向量的幾何意義，構造幾何圖形來求解，往往能起到避繁就簡的效果，下面舉例說明.

例1(2017浙江15)向量a、b滿足|a|=1,|b|=2，求|a+b|+|a-b|的取值范圍.

圖1

例2若非零向量a,b的夾角為60°，|a-b|=1，求|a+b|的取值范圍.

圖2

圖3 圖4

點評本題利用模的三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解：

例4設a、b為單位向量，且a·b=0，c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值為____.

圖5 圖6

圖7

涉及到向量問題，我們可以從代數和幾何的角度去思考問題，代數解法需要將向量問題轉化為代數問題，然后用函數與不等式等知識解決，而幾何法則是借助向量的幾何意義，利用軌跡的思想去思考問題，往往能夠達到意想不到的效果.