如何解答高中數學抽象函數

汪秀峰

(安徽省桐城市第八中學 231400)

為使學生更好的解答抽象函數習題，應使學生認識到即便不知道函數的具體表達式，也能運用所學的知識研究其性質，樹立能夠順利突破抽象函數習題的信念.同時，與學生一起剖析經典的抽象函數習題，不斷的拓展其視野，豐富其解題經驗.

一、聯系函數模型解題

解答部分抽象函數習題可聯系所學的函數模型，化抽象為具體.教學中應注重為學生深入的剖析所學的函數模型，使學生把握相關函數模型的特點.如遇到“f(x+y)=f(x)+f(y)”應聯系一次函數y=kx；遇到“f(x+y)=f(x)f(y)”應聯系指數函數y=ax(a>0且a≠1)；遇到“f(xy)=f(x)+f(y)”應聯系對數函數y=logax(a>0且a≠1).如下題：

已知函數f(x)對任意實數x恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，f(1)=-2，則以下說法正確的是( ).

A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④

二、通過變量賦值解題

為更好的掌握抽象函數性質，遇到題干中給出的函數關系較為復雜時可考慮通過賦值進行巧妙的轉化，更好地揭示出函數的本質.如通過賦值可推導出抽象函數的奇偶性、周期性，在此基礎上結合解題經驗以及題干中給出的已知條件可迅速破題.如下題：

已知函數f(x)對任意的x∈R均滿足f(x+2)-f(x)=f(1)，若函數y=f(x+2)的圖象關于x=-2對稱，且f(0)=8，則f(99)+f(100)的值為( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

根據經驗題干中“函數y=f(x+2)的圖象關于x=-2對稱”間接的給出了函數f(x)為偶函數，而后通過賦值推出函數的周期.

∵函數y=f(x+2)的圖象關于x=-2對稱，由函數圖象平移知識可得函數f(x)關于y軸對稱，為偶函數.

∵f(x+2)-f(x)=f(1)，令x=-1得到：

f(1)-f(-1)=f(1)，∴f(-1)=f(1)=0，

即f(x+2)-f(x)=0，f(x)=f(x+2),

函數f(x)的周期為2，

∴f(99)=f(2×49+1)=f(1)=0，f(100)=f(2×50)=f(0)=8，

∴f(99)+f(100)=0+8=8，選擇D項.

三、運用函數性質解題

運用函數性質解答抽象函數習題是一種重要的思路.需要注意的是需熟練函數性質的各種數學表達關系，能夠準確的識別、挖掘題干中給出的隱含條件.如怎樣用數學公式表示函數的奇偶性、單調性、周期性等.另外，解題時還應注重應用直覺思維，盡快的找到解題思路.如下題.

A.f(x)+x是單調遞減函數

B.f(x)是單調遞增函數

C.不等式f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集為(-∞，0)∪(0，1)

D.不等式f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集為(-∞，1)

四、借助數形結合解題

當解答有關抽象函數不等式問題時，應注重聯系相關的函數圖象，直觀的揭示相關參數之間的關系.為保證解題結果的正確性，應注重運用所學的知識推導出函數的性質，提高畫圖精度.如下題：

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(1，+∞)

又∵g(1)=0，∴當00；

當x>1時，g(x)>0，而lnx>0，∴f(x)>0；

又∵函數為定義在R上的奇函數，在x<-1，-1

圖1

本文給出了解答高中數學抽象函數問題的四種方法.為使學生更好的掌握，應鼓勵其做好相關知識的匯總與整理，把握不同解題方法的適用題型，認真揣摩習題的破題思路、解題過程.同時要求其在課下及時加以針對性的練習，并做好練習的總結與反思，真正的理解與掌握，實現靈活應用.