破解以導數為背景的函數問題的有效策略
——構造新函數

徐清杰

(山東省濱州市惠民縣第一中學 251700)

2020年新高考I卷21題第二問：已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：由f(x)≥1得：aex-1-lnx+lna≥1，elna·ex-1+lna-1≥lnx，elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x，elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，令g(x)=ex+x，則：g(lna+x-1)≥g(lnx)，借助于g(x)在(-∞,+∞)上的單調性解不等式.

一、借助于導數的運算法則構造新函數

將題設條件中“式子”的外形結構進行變形或重組，結合導數的運算法則，合理構造出與之相關的新函數，然后利用該函數的性質解決問題.

題1定義在區間(0,+∞)上的函數y=f(x)使不等式2f(x)

二、將結論等價變形后抽象出相關新函數

將所求結論中“式子”的外形結構進行等價變形或重組，合理構造出與之相關的可導新函數，然后利用該函數的性質解決問題.

題2當a≥2時，下列不等式成立的是(多選)( ).

A.(a+1)a+2>(a+2)a+1

B.loga(a+1)>loga+1(a+2)

三、分離參數后構造新函數

對于含參數的不等式，在求參數的取值范圍時，若能分離參數，可將參數分離出來后，將不含參數的一端構造一個新函數，轉化為求此函數的最值問題.

四、不等式放縮后構造新函數

五、抓零點、極值點構造新函數

涉及函數的零點、方程的根、曲線交點之間的相互轉化問題，構造新函數，利用導數確定函數的單調區間和極值、以及區間端點的函數值與0的關系，借助于數形結合，將比較法的思想融入函數中，轉化為求解函數最值的問題.有時候也可以利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數.

題5已知函數f(x)=lnx-ax(x>0)，a為常數，若函數f(x)有兩個零點x1，x2(x1≠x2).證明：x1x2>e2.

此外對于f(x)

綜上所述，涉及函數、導數、不等式的綜合問題，或直接構造新函數，或間接構造新函數，或二次構造新函數，都是利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得證相應的結論.