數列綜合問題的題型及其解法

劉 成

(江蘇省蘇州實驗中學 215000)

一、與不等式相關的數列綜合問題

數列和不等式的綜合性問題，一般都會用求最值的形式對學生進行考察.解答這類問題首先要處理Sn和an之間的關系式，根據題意考慮是將Sn往an轉化，如Sn-Sn-1=an，還是把an向Sn轉化，如a1+…+an=Sn；其次還要學會求解不等式，通過求解不等式求出最后答案.如例1所示.

例1設Sn是數列{an}的前n項和，且a1=3，當n≥2時，有Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan，則使得S1S2…Sm≥2019成立的正整數m的最小值為____.

解∵Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan(n≥2)，

∴Sn+Sn-1-2SnSn-1=2n(Sn-Sn-1)(n≥2)，

∴(2n+1)Sn-1-(2n-1)Sn=2SnSn-1(n≥2)，

∴數列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數列，bn=2n-1，

∴m≥1009.

思考該題求參數m的最值，是一道既考察不等式又考察數列的綜合性問題.其中所解不等式含有參量Sn，首先要找到Sn與an之間的轉化關系，再對問題中的不等式進行求解，即可求到最終答案.

二、與三角函數相關的數列綜合問題

數列和三角函數相互交匯的綜合性問題并不少見，解答該類型問題首先是靈活運用正余弦定理，得到三角形中邊角的關系，其次是對數列公式的巧妙運用，如等差數列通項公式an=a1+(n-1)d，最后針對求解得到的數列通項特點，運用裂項相消、分組求和等方法求解綜合問題，從而得到最后答案.如例2所示.

∵a1sinA=1，

∵a2,a4,a8是等比數列，

∴d2=2d，

∵d≠0，∴d=2，數列an=2n，

三、與函數相關的數列綜合問題

數列和函數交叉綜合出題，既可以對函數相關知識點進行考察，也可以對數列有關知識進行考核.解答該類綜合問題時，首先根據問題利用相對應的函數知識點求解，得到其中的an或Sn，如求函數極值點，則對函數進行求導得f′(x)，令f′(x)=0可知其函數極值點，其次對數列進行整合，通常會借助函數求數列的通項或前n項和，具體解題步驟如例3所示.

通過上述三種不同解題方法，同學們可以更加全面地了解如何求解數列求和問題，倒序相加、錯位相減、裂項相消都能夠有效解答數列求和問題.因此同學們應該善于從平常試題中發現并總結方法，明確解題思路的方向，從而提升解題效率.