三角形中一類最小值問題的探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

一、試題呈現與解答

題目若△ABC的內角滿足sinA+2sinB=3sinC，則cosC的最小值是____.

評注本題是填空題中的壓軸題，屬于三角形中求最小值問題，綜合考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識，對學生的運算能力，問題的轉換，轉化與化歸等數學思想進行考查；突出考查知識的交匯，其內涵豐富，思維要求高，具有良好的區分度.

二、試題的溯源

試題的題源就來自于以下高考題：

三、試題的推廣探究

由試題的解答與溯源，并通過探究，可得如下結論：

四、試題的變式

變式1 在△ABC中，A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知m=(1,λsinA)，n=(sinA+sinB,sinB)，且m⊥n，a+b=2c，則實數λ的取值范圍為____.

解由a+b=2c，得4c2=a2+b2+2ab，①

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，②

評注兩個變式題均含有型如a+λb=μc的三邊關系，利用正弦定理可以轉化為sinA+λsinB=μsinC，從而利用上述結論解答.需要注意的是變式2要注意驗證兩次利用基本不等式時取等的條件是一樣的.