高中數學不等式易錯題型及解題教學

羅蘇英

摘 要：不等式是數學知識的重要組成部分，在整個高中課程體系中所占的比重也尤為突出，能夠與其他類型的知識點結合到一起，共同考查學生的思維能力和想象能力，例如函數，立體幾何等等。對此，本文也將以高中階段的數學課堂設計為切入點，從不等式解題出發，分析不等式的易錯題型，列舉出具體的解題技巧和方法，希望能夠給相關教學工作者帶來一定的參考和啟示，引導學生梳理解題的思路和方法。

關鍵詞：高中數學;不等式教學;易錯題型;解題技巧

引言：

就高中階段的數學知識來看，不等式這一知識點涉及到不同領域的內容，包括不等關系，一元二次不等式，線性規劃，不等式證明，基本不等關系等等，題目十分靈活且多變，能夠充分考查學生的綜合能力，也是高考近些年來的熱點話題。也正因為如此，學生在面對不等式問題的時候，也時常感到無從下手，他們解題的思路不夠清晰，脈絡相對模糊，一些學生也認為不等式的問題是過于困難的，他們會直接放棄大題。然而，學生這種做法必然會導致一些分數的白白流失，所以教師就應當認真分析學生在練習不等式中常常出錯的題型，傳授給學生正確的解題思路和技巧，讓學生能夠活學活用，舉一反三。

一、定義域和取值范圍的忽略

目前，有相當一部分高中生在解答函數不等式的時候，都會忽略題干設定的函數定義域或者是變量的取值范圍，沒有認真分析函數存在的意義和條件，所以在解題的過程中也會出現數量上的偏差。對此，教師需要引導學生在解題的過程中牢記基本函數的定義域，要掌握最為根本的理論知識，例如分數的分母取值不得為0，對數函數的底數大于0，但不等于1，偶次方根底數大于等于0等等。以上這些條件雖然看似簡單，但大多都隱含于特定的數學不等式中，涉及到一些細小的知識點，所以也很容易為學生所忽略，這些細枝末節的問題也是影響學生得分率的重要因素。

二、數形結合意識相對薄弱

當下，一些不等式的計算的確看起來十分棘手，很多學生在面對這些看似無法計算的問題是，通常都會感到手足無措，不知道如何下手，也無法理清解題的思路。之所以會出現這一問題，主要原因在于學生自身的數形結合意識是相對薄弱的。通常意義上來講，數形結合思想包含了三種不同類型的解題思路，例如由形化數，數形轉換，由數化形。在這里，數和形之間的轉換也涉及到不同的途徑，例如坐標系的建立，角度的轉化，幾何圖形的構造等等。對此，教師就可以讓學生把數形結合思想運用在參數的取值范圍上，或者是運用在一些特定的不等式問題中，這樣可以進一步轉化相對抽象的知識，讓學生縮短做題的時間和步驟，用圖像的形式獲得更加直觀的答案，幫助學生進行分析。再加上，一些看似不能直接得出計算結果的不等式，往往出現在選擇題或者是填空題中，所以學生也并不需要運用大量的計算方法求出答案，數形結合思想就已經能夠滿足特定的需求。

三、不等式恒成立的問題

不等式恒成立問題涉及到的知識點是尤為廣泛的，需要學生結合不等式定理，幾何圖形知識，函數運算等多個方面的內容，所以對學生綜合能力的考查是尤為靈活的。一般情況下，不等式恒成立會與數列知識和函數知識相結合，展現到學生面前，如果學生并不具備特定的抽象思維，那么在解題的過程中也很有可能出現不必要的錯誤。例如，假設不等式4x-2>m，對于充分滿足|m|≤2的所有實數m均成立，計算出m的取值。在解答這一問題時，學生通常不懂得如何根據已經給這條件構建相應的函數，也不懂得如何按照函數的圖像確定m取值成立的條件。對此，教師應當先引導學生求解變元，構建元函數[1]。值得注意的是，不等式恒成立的問題通常會涉及到變量方式的分離，原方程式的轉化等等，所以教師應當進一步引導學生關注具體的題型，選擇合適的解題方法。

四、不等式參數問題

含參數不等式本身就是這一領域的重點和難點知識，而且所占的分值也相對較高，在具體的解答過程中需要列舉出不同的情況來分別討論，如果學生忽略了某種特定的情況，就很容易出現解答的錯誤。對此，教師需要引導學生把重點放在分類探討上，從更為全面的角度出發。例如，在解決絕對是參數不等式問題的時，候通常情況下，學生往往只是針對自變量絕對值的情況進行討論，但卻并沒有對參數本身的大小作出分析。然而，這一類問題解答的關鍵就在于消除絕對值符號，所以也必須要針對參數的范圍進行探討，學生必須要保證自己的分類討論不會出現重復或者是紕漏，想辦法將原有的等式轉化為不含絕對值的式子，養成良好的解題習慣，懂得關注題目中的細節性問題。

五、線性規劃問題

線性規劃與不等式的結合，通常是干擾學生做題的重要因素，這一類問題對知識點的考查十分嚴格，也牽涉到定義域和最值等方面的理念，一般都與目標函數最小值和最大值的計算有關。如果題目想要展現出一定的難度，就會與特定的參數不等式相結合，引導學生計算參數的取值范圍和參數的值[2]。這也就意味著，學生必須要充分利用線性規劃的基本知識，理解線性規劃和不等式之間存在著聯系。例如，在目標函數最小值確定，自變量和因變量同時滿足特定不等式組，并且參數的基本范圍已經確定的情況下，學生基本上都會以建立坐標系為途徑，構建起相應的函數圖形。然而，題目的難點就在于坐標系之中，部分學生在解答的時候無法分清實線和虛線，容易忽略已知的條件。對此，教師就應當引導學生采用逆向思維來解決問題。例如，已知a>0，并且x，y滿足，x>=2，x+y≤4，y≥a（x-4），目標函數Z=2x+y的最小值是2，那么參數的取值范圍又是多少。這一問題中已經給出了最值，要求學生計算直線內部的參數值，學生就應當先畫出平面區域圖形，從a>0這一條件中可以得到，直線y經過第一和第三象限，然后代入A（2，-2a）的坐標。

六、結束語

高中數學不等式解題并不是一蹴而就的，必須要經歷一個循序漸進的過程，正因為如此，教師才更應當引導學生采用多個角度去分析問題的本質，找出解答問題的正確方法。本文通過定義域和取值范圍，數形結合思想，恒成立，參數求解，線性規劃這幾個角度，論述了高中不等式易錯題型的類型，并產生了特定的解題方法，充分結合了高中數學基本學習內容，尊重學生在課堂上的主體地位，能夠作為教師的參考依據。在未來，教師也應當提醒學生使用均值不等式進行解答。

參考文獻：

[1] 康毅瀟. 高中數學不等式易錯題的解題技巧探究[J]. 文淵（小學版）， 2019， 000（002）：761.

[2] 勒子玉. 高中數學基本不等式解題技巧的探究與分析[J]. 數學學習與研究：教研版， 2019， 000（012）：P.105-105.