齒輪疲勞試驗(yàn)下的壽命估算研究

周子杰，韓振南

（太原理工大學(xué)齒輪研究所，山西 太原030024）

1 引言

齒輪箱主要由齒輪、軸、軸承和箱體構(gòu)成，而因?yàn)辇X輪故障失效的比例達(dá)到60%以上，如果能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)齒輪的早期故障，就能夠減少不必要的經(jīng)濟(jì)損失，所以提高齒輪接觸疲勞壽命預(yù)測(cè)精度對(duì)齒輪箱的可靠性有重要的工程意義［1］。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)證明Weibull分布綜合反映材料缺陷和應(yīng)力集中對(duì)材料疲勞壽命的影響，因此這里結(jié)合齒輪失效機(jī)理和其載荷環(huán)境，三參數(shù)威布爾分布是齒輪最適宜的壽命分布形式［2］。

根據(jù)機(jī)床主軸壽命服從Weibull分布，文獻(xiàn)［3］引入了Bayes理論建立了機(jī)床主軸的壽命預(yù)測(cè)模型來獲得更高的可靠性；文獻(xiàn)［4］從頻率論的角度估計(jì)未知參數(shù)；文獻(xiàn)［5］提出了鋼筋C-S-N（腐蝕S-N）關(guān)系的威布爾模型，將腐蝕程度和應(yīng)力范圍作為威布爾模型的輸入變量，采用期望最大化（EM）算法對(duì)經(jīng)過審查的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；將三參數(shù)Weibull分布簡(jiǎn)化為指數(shù)分布，文獻(xiàn)［6］等簡(jiǎn)化了后驗(yàn)分布的求解步驟提高評(píng)估結(jié)果的精確度；滾動(dòng)軸承壽命服從二參數(shù)Weibull分布特點(diǎn)，文獻(xiàn)［7］利用小樣本數(shù)據(jù)將無信息先驗(yàn)分布作為其先驗(yàn)分布，給出了形狀參數(shù)與可靠度的點(diǎn)估計(jì)并編寫了計(jì)算機(jī)程序；文獻(xiàn)［8］等運(yùn)用平均秩次法為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)獲取誤差大的問題提出合理的方法；文獻(xiàn)［9］等將降階的思想與二分法結(jié)合，為三參數(shù)weibull分布的極大似然估計(jì)值提供了新思想。

文獻(xiàn)［10-11］只提出了三參數(shù)Weibull分布的參數(shù)估計(jì)方法以及模型的建立，僅僅利用蒙特卡羅仿真方法產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)，并沒有詳實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，缺乏可靠性。而且國內(nèi)外以齒輪為研究對(duì)象的壽命預(yù)測(cè)方法研究很少，多數(shù)局限于有限元仿真和計(jì)算機(jī)程序的編寫，難以為實(shí)際生產(chǎn)提供工程意義。基于上述研究，結(jié)合齒輪疲勞試驗(yàn)，提出利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和近似中位秩公式對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)進(jìn)行擬合，通過繪制故障概率密度函數(shù)和可靠度函數(shù)準(zhǔn)確的得出齒輪接觸疲勞壽命預(yù)測(cè)值，通過詳盡的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出齒輪早期故障期的可靠度規(guī)律。

2 Weibull分布理論基礎(chǔ)

失效分布函數(shù)為：

故障密度函數(shù)為：

故障率函數(shù)為：

式中：t-試驗(yàn)齒輪在規(guī)定扭矩下的循環(huán)次數(shù)；β-尺度參數(shù)，對(duì)應(yīng)于齒輪副的特征壽命；位置參數(shù)α，描述齒輪副最少的無故障循環(huán)次數(shù)；形狀參數(shù)ξ，它的值不同，隨機(jī)變量的分布也不同，其中β＞0，ξ＞0。

3 參數(shù)估計(jì)

最小二乘法的法則是通過最小化誤差的平方尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，運(yùn)用此法可以使齒輪的壽命預(yù)測(cè)值更準(zhǔn)確。在齒輪副實(shí)際工作中，對(duì)壽命影響大小而言，α值的影響可以被忽略不計(jì)，因此令α=0，則式（1）等價(jià)成二參數(shù)Weibull分布的可靠度函數(shù)：

兩邊各自取兩次自然對(duì)數(shù)變換，并整理得

則式（6）簡(jiǎn)化為：

目前，我國存貸款利率水平主要由政府決定，并非市場(chǎng)供求因素形成，行政體制保護(hù)下的管制利率成為銀行能夠獲得超高收入和利潤(rùn)的最大保障。近幾年，由于整個(gè)社會(huì)資金面相對(duì)緊張，相對(duì)借款人而言，商業(yè)銀行議價(jià)能力不斷提升，從而導(dǎo)致利差水平上升，平均上升幅度在0.3%左右[5]。所以，利息收入的增長(zhǎng)依然是我國商業(yè)銀行利潤(rùn)走高的主要支撐因素。

由線性回歸方程（8）得出，回歸系數(shù)k和C的最小二乘估計(jì)解經(jīng)最小二乘法法則變換為

在使用最小二乘法對(duì)Weibull分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，要想使回歸直線擬合精度更高，得到的回歸系數(shù)估計(jì)值更加符合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的精度的提高是根本要求。

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)在齒輪可靠性應(yīng)用中舉足輕重，當(dāng)樣本量很大時(shí)，由一個(gè)樣本值得到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(t)是總體分布函數(shù)F(t)的優(yōu)良估計(jì)。經(jīng)查閱資料可得近似中位秩公式在實(shí)驗(yàn)設(shè)備全部故障的情況下誤差較小，由于在齒輪疲勞試驗(yàn)中我們得到的是設(shè)備全部故障的數(shù)據(jù)，所以完全適用于該計(jì)算方法。

式中：i-齒輪副的載荷譜編號(hào)；n-載荷譜總數(shù)。

4 齒輪接觸疲勞試驗(yàn)

4.1 試驗(yàn)齒輪

考慮試驗(yàn)機(jī)的條件，選取的試驗(yàn)齒輪是漸開線直齒圓柱齒輪，齒輪傳動(dòng)比為1：1，齒輪參數(shù)，如表1所示。

表1 試驗(yàn)齒輪參數(shù)Tab.1 Parameter of Test Gear

4.2 疲勞壽命實(shí)驗(yàn)條件

（1）試驗(yàn)在如圖1所示的臺(tái)架上進(jìn)行。

圖1 機(jī)械式功率流封閉齒輪試驗(yàn)臺(tái)Fig.1 FZG Gear Test Rig

（2）試驗(yàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速為1200r/min。

（3）加載方式為杠桿加載，八級(jí)載荷譜。

（4）試驗(yàn)齒輪安裝方式選用錯(cuò)齒安裝，使得相同輸入扭矩下得到更大的齒面接觸應(yīng)力，嚙合齒寬為10mm。

（5）潤(rùn)滑條件。L-CKC320工業(yè)閉式齒輪油，粘度等級(jí)：320，40℃，運(yùn)動(dòng)粘度：324（cst）閃點(diǎn)：224（℃）。

（6）試驗(yàn)時(shí)間。每三十分鐘記錄一次數(shù)據(jù)，每一個(gè)小時(shí)檢查一次齒面，記錄齒面磨損情況和潤(rùn)滑油面高度，同時(shí)觀察儀表監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，直到出現(xiàn)點(diǎn)蝕疲勞現(xiàn)象為止。

4.3 接觸疲勞失效判據(jù)

點(diǎn)蝕通常出現(xiàn)在節(jié)線的齒根部分，呈痘狀或條狀。當(dāng)試驗(yàn)齒輪單齒點(diǎn)蝕面積率達(dá)4%或者齒輪副點(diǎn)蝕面積率達(dá)0.5%時(shí)，認(rèn)為該組齒輪試驗(yàn)失效［13］，對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)即為該應(yīng)力水平下的齒輪疲勞失效壽命。

4.4 試驗(yàn)應(yīng)力水平的確定

每一級(jí)載荷所對(duì)應(yīng)的齒輪接觸應(yīng)力依據(jù)以下公式［14］進(jìn)行計(jì)算：

式中：u-兩齒輪的齒數(shù)比，u=z2/z1；彈性系數(shù)ZE=189.8；齒輪的重合度為1.45；重合度系數(shù)Zε=0.92；節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)ZH=2.12；使用系數(shù)KA=1.5；動(dòng)載系數(shù)KV=1.2；齒間載荷分配系 數(shù)KHα=1/(Zε2)；齒 向 載 荷 分 配 系 數(shù)KHβ=1.2；K=

對(duì)（11）進(jìn)行簡(jiǎn)化得：

式中：b-嚙合齒寬（mm）;T-轉(zhuǎn)矩（N·m）。

5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理結(jié)果

5.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過NC-3扭矩測(cè)量?jī)x記錄疲勞試驗(yàn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩功率和時(shí)間（注：第八級(jí)載荷的循環(huán)次數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)蝕疲勞的循環(huán)次數(shù)），數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)扭矩與齒輪轉(zhuǎn)數(shù)Tab.2 Experimental Torque and Gear Revolution

5.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

對(duì)表2中的故障數(shù)據(jù)利用式（7），式（10）分別計(jì)算得到齒輪的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，如表3所示。

表3 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Tab.3 The Empirical Distribution Function

通過式（9）可知，x和y成一次函數(shù)關(guān)系，利用origin軟件對(duì)表中數(shù)據(jù)直線擬合后，結(jié)果如圖2所示。從擬合圖中可以直觀地看出數(shù)據(jù)均勻的分布在擬合直線上以及兩側(cè)，對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)利用近似中位秩公式的擬合效果和精度都可以滿足要求。

圖2 直線擬合Fig.2 Linear Fitting

5.3 齒輪壽命預(yù)測(cè)分析

利用近似中位秩公式計(jì)算分析，得出直線回歸系數(shù)最小二乘解為：k=0.5265，C=-7.3209。將其代入式（7）得到k=ξ=0.5265，β=e-c/ξ=1105933.132。利用式（5）并根據(jù)齒輪副壽命的可靠度函數(shù)、失效分布函數(shù)以及故障概率密度函數(shù)三者關(guān)系，將k和β的值代入可以得出可靠度函數(shù)、失效分布函數(shù)以及故障概率密度函數(shù)方程：

已知方程，利用Matlab8.0軟件分別得到如圖3所示的Weibull分布故障概率密度曲線，如圖4所示的失效概率曲線和如圖5所示的可靠度曲線。

圖4 失效概率函數(shù)曲線Fig.4 The Curve of Failure Rate Function

由圖3可知，故障概率密度函數(shù)曲線與形狀參數(shù)ξ緊密相關(guān)，當(dāng)ξ=0.5265＜1，概率密度曲線在低循環(huán)次數(shù)下迅速下降，隨著循環(huán)次數(shù)增加逐漸趨于平緩，沒有峰谷值，這一現(xiàn)象表面齒輪點(diǎn)蝕現(xiàn)象出現(xiàn)在齒輪機(jī)構(gòu)的早期故障期，齒輪機(jī)構(gòu)并沒有完全失去工作能力，但是需要定期檢查齒面狀況，及時(shí)調(diào)整齒輪機(jī)構(gòu)的工作載荷，防止出現(xiàn)最嚴(yán)重而且危害很大的斷齒現(xiàn)象。

圖3 故障概率密度函數(shù)曲線Fig.3 The Curve of Failure Rate Density function

由圖5可得，可靠度函數(shù)曲線也與形狀參數(shù)ξ緊密相關(guān)，試驗(yàn)中齒輪的形狀參數(shù)ξ=0.5625＜1，可靠度函數(shù)曲線在低循環(huán)次數(shù)下迅速下降，隨著循環(huán)次數(shù)增加逐漸趨于平緩，這是由于齒輪的早期疲勞點(diǎn)蝕失效率較高造成的結(jié)果，當(dāng)可靠度為R（t）=50%時(shí)，代入可靠度函數(shù)，得出循環(huán)次數(shù)t50%=0.55×106r，表明在該實(shí)驗(yàn)工況下，齒輪的循環(huán)次數(shù)達(dá)到0.55×106r后，可靠性下降到50%，需要停機(jī)觀察齒輪表面的點(diǎn)蝕坑的面積來判斷齒輪機(jī)構(gòu)是否可以繼續(xù)運(yùn)行。

圖5 可靠度函數(shù)曲線Fig.5 The Curve of Reliability Function

6 結(jié)論

簡(jiǎn)要的闡述了三參數(shù)weibull分布的理論基礎(chǔ)，利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法和近似中位秩公式的表達(dá)，結(jié)合機(jī)械封閉流齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)架的接觸疲勞試驗(yàn)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，應(yīng)用origin軟件進(jìn)行近似中位秩公式的擬合，直線擬合的效果和精度令人滿意。利用Matlab準(zhǔn)確的擬合了試驗(yàn)齒輪的故障概率密度函數(shù)曲線，可靠度函數(shù)曲線和失效概率函數(shù)曲線，結(jié)果表明，齒輪的疲勞點(diǎn)蝕現(xiàn)象出現(xiàn)在早期故障期，并且點(diǎn)蝕失效率較高，當(dāng)齒輪的循環(huán)次數(shù)達(dá)到0.55×106r，可靠度下降到50%，需要停機(jī)觀察齒輪表面的點(diǎn)蝕坑的面積來判斷齒輪機(jī)構(gòu)是否可以繼續(xù)運(yùn)行。為有效的解決旋轉(zhuǎn)部件壽命預(yù)測(cè)提供了新的思路。