如何利用法向量確定二面角是銳角還是鈍角
——從一道題目談起

徐加華 李霞 和法文

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

一、前言

我們知道,二面角的平面角與兩個(gè)平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ).那么到底什么情況下相等，什么情況下互補(bǔ)呢？2020年5月投入使用的普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)也沒(méi)有給出相應(yīng)的判斷方法，而是采用將問(wèn)題改成求平面的夾角來(lái)回避這個(gè)問(wèn)題.

二、引例解析

我們先看摘自薛金星老師主編的《解透教材·高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)(RJ·A)》第85頁(yè)上的一道題目：如圖1在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中點(diǎn).∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.

圖1

(1)求證：平面PA⊥平面ABCD.

(2)若二面角E-BD-P大于60°，求四棱錐P-ABCD體積的取值范圍.

我們先看資料給出的答案：

(1)證明 ∵∠DAB=90°,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA.∵PA⊥BC,AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABCD.

(2)解如圖2,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

圖2

1.基本常識(shí)

圖3

2.基本結(jié)論

3.結(jié)論證明

已知m,n分別是平面α，β的法向量，設(shè)M,N分別是平面α，β內(nèi)的點(diǎn)，且兩點(diǎn)都不在平面α與β的交線l上，二面角α-l-β的大小為θ，為向量m與n的夾角.

圖4

圖5