高中數學辯證思維賞析(立體幾何篇)

楊 娟

(四川師范大學附屬中學 610066)

在《普通高中數學課程標準(2017年版)》修訂的基本原則中也要求：“堅持正確的政治方向……充分體現馬克思主義的指導地位和基本立場……”.課程標準全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點，所以在高中數學的教學中，教師要結合數學學科的特點潛移默化的給學生滲透辯證法的基本思想，堅持用“辯證觀點分析和解決數學問題”，逐步培養高中學生運用辯證思維解決數學問題的能力.辯證思維是一種重要的思維方法，在高中數學中隨處可見，當然在立體幾何版塊中也有它的身影.

知識賞析一：柱、錐、臺的體積公式蘊含著量變質變規律

知識賞析二：對長方體的研究中蘊含著整體與局部的關系

一、對立統一規律

對立統一規律是唯物辯證法的三大規律之一.根據對立統一規律矛盾雙方既相互依賴，又相互排斥，并在一定條件下可以相互轉化.“分割法”與“補形法”就是對立統一的辯證思維在解決立體幾何問題中的具體體現.

例1 如圖1,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠A=60°,E,F分別為AB,CD的中點,將ΔADE和△CBF沿著DE和BF折起,使得平面ADE和平面CBF均垂直于平面BEDF.

(1)求證:AC//平面BEDF；

(2)求幾何體ACFBED的體積.

賞析(1)略；(2)幾何體ACFBED是不規則幾何體,其體積只能通過分割或補形來實現.

補形法如圖2,分別過點B,D作AE的平行相等線BP,DQ,連接AP,PC,CQ,QA, 形成一個底面為菱形的直四棱柱.

二、否定之否定規律

否定之否定規律表明事物自身發展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環節構成的，揭示了事物發展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當肯定方面居于主導地位時，事物保持現有的性質、特征和傾向，當事物內部的否定方面戰勝肯定方面時，舊事物就需要轉化為新事物.

例2 如圖3,不共面的直線a,b,c相交于點O,M,N∈a,P∈b,Q∈c.

證明:MP,NQ是異面直線.

賞析假設MP與NQ不是異面直線,則MP與NQ共面,設MP?平面α,NQ?平面α

∵M,N∈a，M,N∈α,∴a?α,∴O∈α,

∵P∈α,∴b?α,同理c?α,與已知條件矛盾,

∴MP與NQ是異面直線.

三、普遍聯系的觀點

事物的聯系具有普遍性，任何事物或現象之間以及事物的內部要素之間都是相互影響，相互依賴，相互作用的.

例3 棱長為4的正四面體A-BCD與正三棱錐E-BCD的底面重合,若由它們構成的多面體ABCDE的頂點均在球O的球面上,則球心O到平面EBC的距離為____.

四、矛盾分析的方法

矛盾分析法是我們認識世界和改造世界的根本方法.唯物辯證法認為矛盾具有普遍性，矛盾雙方在一定條件下可以相互轉化.高中數學中矛盾無處不在，無時不有！因此我們在解決數學問題時既要看到矛盾的主要方面，也要看到矛盾的次要方面，堅持具體問題具體分析，還要善于將矛盾雙方進行恰當的轉化.

例4 如圖5,在Rt△ABC中,AB=BC=1,D和E分別是邊BC和AC上異于端點的點,且DE⊥BC,將ΔCDE沿DE折起,使點C到點P的位置,得到四棱錐P-ABDE,則四棱錐P-ABDE體積的最大值為____.

賞析假設點D位于線段BC的某一位置,只考慮ΔCDE的折起,此時四棱錐P-ABDE的底面ABDE的面積為定值.對ΔCDE的不同折起位置,顯然當平面CDE⊥平面ABDE時,點P到平面ABDE的距離最遠,即相對點D的位置,四棱錐P-ABDE的體積最大.

如圖6對點D的所有位置,均有PD⊥平面ABDE即可.

說明本文是四川師范大學附屬中學校級科研課題：《指向高階能力培養的行動——高中生數學辯證思維能力的培養策略研究》(課題組成員：黃光鑫、武婷、李莉莉、楊娟)的階段性成果.