兩種方法解決復雜的疊加場運動

洪英蘭

(福建省三明市第二中學 365000)

帶電粒子在復合場中的運動是高考物理重點考查內容.簡單的疊加場問題，通常是電場和重力場的疊加、或是電場+磁場+重力場且重力與電場力平衡的情況，研究的運動也多為簡單的直線運動、勻速圓周運動和類平拋運動等.而復雜的疊加場運動是指帶電粒子同時受到多種場力且力不能抵消的運動，運動的軌跡即不是直線，也不是圓，而是較復雜的周期性曲線.這種情況往往需要用微分方程求解，而應用高數解決物理問題只有物理競賽課才會涉及到，普通學生是不會解的.而近年高考物理試卷卻在疊加場中壓軸題上頻出新狀況，常常打一些競賽與高考的擦邊球，學生普遍覺得困難，因此靈活應用物理和數學知識，掌握解題技巧是十分必要的.本文介紹兩種不上物競課也能掌握的方法來解決復雜的疊加場問題.

一、巧配速度求解法

1.重力場+磁場

我們先來看看下面這道題：

例1 如圖1所示，真空中存在一質量為m的帶正電且電量為q的小球，小球處在磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場垂直紙面向里.重力加速度豎直向下，大小為g.現將小球由靜止釋放，求小球：

(1)運動中的最大速度；(2)豎直下落的最大距離.

分析此題中小球不僅受洛侖茲力，還受重力作用.洛侖茲力改變小球的速度方向，重力雖恒定卻使小球速度增大，從而改變洛侖茲力的大小.小球實際受到的是一個方向和大小都在改變的洛侖茲力.解題的思路就是創設一個力，把重力平衡了，回歸之前熟悉的情景.

解(1)如圖2所示，設小球有水平向右的初速度v和向左的初速度v(實際初速度仍為零)，且滿足qvB=mg，則向右的假設速度產生的洛倫茲力與重力抵消，故有一個分運動是速率為v的向右勻速直線運動；

類似的其它場我們也可以采用配速度的方法，巧妙地運用牛頓第二定律對運動進行分解與轉化.在電場+磁場、電場+重力場+磁場中，只要將除磁場以外的場進行合成就可以回歸到與本題類似的情況.

例如下面這道題：

進階例題如圖4所示，空間存在足夠大、正交的勻強電場和勻強磁場，電場強度為E、方向豎直向下，磁感應強度為B、方向垂直紙面向里.從該區域中某點P由靜止釋放一個質量為m、帶電荷量為+q的粒子(粒子重力不計)，其運動軌跡如圖4中虛線所示，下列說法正確的是( ).

A.帶電粒子在最低點時速度為0

答案BD.

2.已有初速度 + 復雜疊加場

例2(2019湖北武漢市四月調研理綜卷)如圖5所示，xoy平面處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里.在點p處有一粒子源，可向各個方向發射速率不同，帶電量為q，質量為m的帶負電粒子，不考慮粒子的重力.若在xoy平面內加沿y軸正方向的勻強電場E，粒子以速率v沿y軸正方向發射，求在運動過程中的最小速率.

應用配速法可以巧妙解決上述這類問題，但并不是萬能的.當上述例題的題設條件發生變化時，就當另尋他法.下面介紹如何應用數學中累積求和思想解決帶電粒子在復雜疊加場運動問題.

二、累積求和法

例3把例題1稍加改變成為：如圖7所示，真空中存在一帶正電且電量為q的小球，處在磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場垂直紙面向里.小球的質量為m，重力加速度g未知.現將小球由靜止釋放， 若已知小球下落的最大距離為y，求此時的水平速度大小.

分析本題只是把例1的重力加速度g變為未知，其他已知條件均不變，由上述分析知小球仍做周期性曲線運動.

解設vy為小球豎直方向的分速度，ax為水平方向加速度，由牛頓第二定律，得：qvyB=max,則有：∑qvyBΔt=∑maxΔt

qB∑vyΔt=m∑axΔt

qBy=mvx

(即豎直方向分速度引起的洛侖茲力在時間上的累積效果造成水平方向動量的改變)

評析此題由于g未知，用配速度法雖然也可以，但較為麻煩.而運用洛倫茲力的累積求和思想可巧妙地避開g的值，是為上策.

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