探析彈簧雙振子的運動規律

胡連冬

(湖南省長沙市寧鄉市第七高級中學 410635)

彈簧振子的運動問題涉及運動和力的關系、動量能量觀念；尤其是“彈簧雙振子”運動問題，其運動情況較為復雜，物理情景學生難以想象，即使剛入職的教師面對“彈簧雙振子”運動問題也感到束手無策，因此“彈簧雙振子”運動問題往往成為歷年中學物理競賽的題型之一.

一、彈簧振子的定義

如圖1所示，把輕彈簧的一端固定，另一端連接小球或滑塊，當輕彈簧發生形變后，小球或滑塊就在平衡位置附近作往復運動，這種現象叫簡諧振動，其中彈簧和小球或滑塊組成的系統稱為彈簧振子.如圖2中在輕彈簧的兩端各連接一個小球，當彈簧發生形變后，該系統中的兩個小球就相對系統的質心作簡諧振動，這樣的系統稱為“彈簧雙振子模型”，彈簧振子是一種理想化模型.

二、彈簧振子的運動問題

1.彈簧單振子運動規律

2.彈簧雙振子運動規律

(1)彈簧雙振子系統質心處于靜止狀態

例1將原長為l0勁度系數為k的輕彈簧連接A、B兩振子，A、B質量分別為m1m2. 將彈簧壓縮為l后鎖定置于光滑水平面上,如圖3所示.當彈簧突然解除鎖定后，試分析振子A、B的運動情況.

解析壓縮的彈簧解除鎖定后，系統在水平方向上不受外力，且系統的總動量為零，根據動量守恒定律可知，系統質心C的速度為零.

把兩振子之間的輕彈簧等效為兩根原長分別為l10和l20的輕彈簧在質心C處串聯，兩根輕彈簧對應的勁度系數分別為k1和k2. 這兩根輕彈簧的形變量為x1=l10-l1,x2=l20-l2.

整根彈簧的形變量為x=x1+x2,由胡克定律得：

F=k1x1=k2x2=kx

(1)

(2)

結合質心位置分布規律有：m1x1=m2x2

(3)

(4)

(5)

分別求得兩振子振動的位移和速度：

A、B兩振子的速度—時間圖像如圖5所示(振幅不一定相同，由振子質量決定).

(2)彈簧雙振子系統質心處于勻速直線運動狀態

例2如圖6所示，振子AB和輕彈簧連接靜止在光滑水平面上，兩振子AB質量分別為m1m2，C表示系統的質心位置，現給A一個水平向右大小為V0的初速度，試分析AB兩物塊的運動情況.

A在質心坐標系O′X′中相對平衡位置的距離xA相=0.

A相對質心C的位置為：

(6)

A相對地面坐標系的速度為：

(7)

在t=0時刻，B物塊相對質心C振動的初始條件為：

則B相對質心C的振動方程為：

同理可得B物塊在任意時刻t相對質心坐標系o′x′的位置為：

B相對地面參考系ox的位置為：

(8)

B物塊相對地面參考系的速度為：

(9)

由(7)(9)兩式可作出AB物塊在質量m1=m2時相對地面的v-t圖像如圖8所示.

(3)彈簧雙振子系統質心處于勻變速直線運動狀態

例3勁度系數為k的輕彈簧，兩端系質量為mA和mB的小球A、B，A用細線懸于天花板上，系統處于靜止狀態.如圖9所示，此時彈簧長度為l，現將細線燒斷，并以此時為計時起點，試分析任意時刻兩小球的運動情況(系統距地面足夠高)

A相對平衡位置的速度v0=0.

由彈簧單振子的振動方程可得A球相對質心的振動方程分別為：

在任意時刻t,A球在質心坐標系o′x′中的位置和速度分別為：

以燒斷細線時A所在位置為坐標原點o豎直向下為正方向建立如圖10所示的地面參考坐標系ox.則在任意時刻A在ox系中的位置和速度分別為：

同理可得B相對質心的振動方程分別為：

任意時刻B相對質心坐標系o′x′的位置和速度分別為：

因此任意時刻t,B相對地面坐標系ox的位置為：

綜上所述，彈簧雙振子具有相似的運動規律，雙振子的運動是振子相對系統質心的簡諧振動和系統質心某種運動的合運動.