例析實際應用中與球相關的最值問題

謝新華

(福建省莆田第二中學 351100)

圖1

例1 (2020·湖北襄陽模擬)魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙．從外觀上看，是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱；六根等長的正四棱柱分成三組，經90°榫卯起來．如圖所示，正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為1，將這個魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器半徑的最小值為(容器壁的厚度忽略不計)( ).

評析本題以數學文化為背景，考查多面體與外接球球的計算，需要根據幾何體的對稱性確定一組長方體的外接球也就是整體的外接球.

例2 (2020 ·河南省模擬)在棱長為8的正方體空盒內，有4個半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R的大球放在四個小球之上，與四個小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉盒子，五球相切不松動，則小球半徑r的最大值為____，大球半徑R的最小值為____.

解析當正方體盒內四個小球中相鄰小球均相切時，小球半徑r最大，大球半徑R最小，由2r·2=8可得r的最大值為2，下面分析r=2時R的取值. 如圖所示，由對稱性知，大球球心O與四個小球球心O1,O2,O3,O4均為一個正四棱錐的頂點，且OO1=R+r=R+2,O1O2=2r=4.

圖2

評析本題通過數學問題與實際問題相結合，考查球與球，球與多面體的切接問題，一題兩空是新高考特色題型，分析球與球之間切接可得r的最大值，剖析球與多面體切接問題，結合對稱性計算出R的最小值.

例3(2020·福建莆田市質檢)有一根高為30厘米，底面半徑為5厘米的圓柱體原木(圖3).某工藝廠欲將該原木加工成一工藝品，該工藝品由兩部分組成，其上部分為一個球體，下部分為一個正四棱柱(圖4).問該工藝品體積的最大值是____立方厘米.

圖3 圖4

當x變化時，f(x),f′(x)變化情況如下表：

x(0,25π)25π(25π,5)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗

評析本小題以勞動技術、生活實踐為背景，考查立體幾何中與球有關的最值問題，是一類既富思考性，又融眾多知識和技巧于一體，綜合性強、靈活性高的問題．解答時，需仔細分析題設中的所有條件，在充分審清題目意思的基礎上，從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質去解決；找出問題中的代數關系，建立目標函數，利用求函數最值的方法加以解決.

圖5

解析根據三視圖知原工件形狀為圓錐，如圖.

圖6 圖7

當x變化時，V(x),V′(x)變化情況如下表：

x(0,23)23(23,2)V′(x)+0-V(x)↗極大值↘

評析本題融合多個知識點，考查立體幾何中球的切接問題，考查運用導數求函數的最值問題，考查概率的計算，綜合性較強.