巧設妙解 殊途同歸
——談一道與圓有關最值試題的求解策略

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

問題呈現如圖1，兩同心圓圓心為O，r1=6,r2=8，矩形ABCD內接于圓，AB，CD分別為兩圓的弦，求矩形ABCD面積最大值？(2021年四川省數學會高三模擬測試題)

圖1 圖2

分析本題為2021年四川省數學會命制的高三文科模擬測試題填空壓軸題，求解本題時學生對平面幾何相關知識忘記太多，對問題轉化的能力欠缺，求解四邊形面積策略單一(轉化為長度之積)，計算量大，利用不等式相關知識不易處理.下面我們從不同角度探究一下本題的解法策略.

圖3 圖4

評注直接利用邊長之積求四邊形面積直觀明晰，利用題目中圓內相關關系找到兩邊之間關系，通過同一未知數代換，這一種求解策略解題時易思維入手，但運算較為不易，若不利用柯西不等式則極不方便求解最值，對考生不等式知識要求較高.

解法4 (轉化為三角函數求最值)連接OA,OD，過O作OE⊥AD于E，如圖4，記∠OAE=α,∠ODE=β，則OE=6sinα=8sinβ,AE=6cosα,ED=8cosβ，則AD=6cosα+8cosβ,于是S=AB·AD=12sinα(6cosα+8cosβ)=72sinαcosα+96sinαcoxβ=96sinβcosα+96sinαcosβ(因為6sinα=8sinβ)=96sin(α+β)≤96(當且僅當sin(α+β)=1時取等號).

評注將幾何問題轉化為代數中三角問題求解，是由初中到高中思維能力提升的一個標志，利用同一長度建立不同角度之間的等量關系，進而將幾何問題轉化為三角函數最值求解.充分利用角度之間的等量關系，利用三角變換，輔助角公式將三角函數化為“三個一”(同一角度、同一函數、一次式)便于求解.

從初中平面幾何到高中解析幾何的學習，實質上是從幾何到代數的一個學習大一統，從不同角度去思考平面圖形的相關性質，充分利用數形結合，簡化思維，提升運算能力.利用三角，向量，不等式、函數等策略去思考與圓相關問題，其本質上殊途同歸，但能起到事半功倍的效果，雖解法策略有所不同，但本質上均利用了化歸與轉化的思想，殊途同歸.