比較法在信號與系統課程教學中的應用

張靜 陶彬彬

摘要：信號與系統這門課程抽象、理論性強、基本概念、數學公式及推導較多，學生不容易理解，容易望而生畏，學習起來倍加困難，但是好的方法可以使信號的學習效果達到事半功倍。比較法是一種特別適合于信號與系統課程的教學方法，將比較法用于實際的教學，不僅可以激發學生的學習熱情，提升學習效果，而且可以提高學生的學習能力。

關鍵詞：連續系統;離散系統;卷積;傅里葉變換;拉普拉斯變換

中圖分類號：G642.4? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）26-0261-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

1 背景

信號與系統課程是電子信息類專業的一門重要的專業基礎課，該課程是一門承上啟下的課程，其先修課程為高等數學、電路原理、復變函數等，其后續課程有自動控制原理、高頻電子線路、通信原理、數字信號處理等[1-2]。該課程理論性較強，數學公式頗多、基本概念、基本分析方法很重要，并且因為數學頗多、理論性強、比較抽象，所以學好信號這門課程需要花費很多的精力。因此，好的學習法對于信號與系統課程的學習，不僅可以事半功倍，而且可以激發學生的學習熱情，進而提升信號的學習效果，為后續課程的學習以及考研打下牢固良好的基礎。

信號與系統課程主要包括：連續系統的時域分析、離散系統的時域分析、傅里葉變換和系統的頻域分析、連續系統的s域分析、離散系統的z域分析、系統函數及狀態變量等[3]。本文以信號與系統前6章的內容為例，將比較法用于其中。通過比較法不僅將連續系統與離散系統時域內的基本信號與性質、卷積、響應的求解進行比較，而且將三大變換域-頻域、復頻域、z域進行比較。通過比較法發現相似規律及差異，進而可以更好地掌握信號系統的基本理論，構建系統性的知識體系。

2 連續系統與離散系統的基本信號及性質的比較

連續系統及離散系統中有一些基本的信號，基本信號有其獨特的性質以及響應，他們有很多相似的地方，可以對比掌握。基本信號的波形圖如圖1～圖4所示。基本信號、響應、關系及性質如表1所示。

2 卷積積分和卷積和的比較

2.1 定義式

卷積積分：

[ft=f1t*f2t=-∞+∞f1τ?f2t-τdτ]? ? ? ? ? ? ?（1）

卷積和：

[fk=f1k*f2k=-∞+∞f1i?f2k-i]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

無論卷積積分還是卷積和都分為5步走，即：換元、反轉、右移、相乘、積分（求和），唯一不同的是連續信號的積分對應離散信號的求和。

2.2 卷積積分和卷積和的性質

卷積積分和卷積和有很多重要的性質，靈活的運用性質可以簡化卷積的運算[4]。表2為卷積積分和卷積和的性質，他們有著相似之處，運用比較法可以幫助理解、記憶、掌握。

從表2可以發現卷積積分和卷積和的性質類似，區別在于前者為連續變量，后者為離散變量。連續信號里面求原函數的積分對應離散信號求迭分，連續系統的微分對應于離散系統的差分。

2.3 卷積的求解方法

卷積積分的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質法。

卷積和的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質法 ;4）不進位乘法求卷積和;5）列表法。

2.4 卷積法求零狀態響應

連續系統，對于任意[ft]通過LTI系統產生的零狀態響應等于其卷積該系統的沖擊響應，即：[yzst=ft*ht];

離散系統，對于任意[fk]通過LTI系統產生的零狀態響應等于其卷積該系統的單位序列響應，即：[yzsk=fk*hk];

只要知道系統的沖擊響應[ht]或者單位序列響應[hk]，對于任意信號[ft]或[fk]，就可以求出他們的零狀態響應[yzst]或[yzsk]。

3 連續系統與離散系統求解響應的比較

連續系統的全響應：

[yt=yht+ypt=yxt+yft]，連續系統全響應分為自由響應[yht]和強迫響應[ypt]，也可以分為零輸入響應[yxt]和零狀態響應[yft]。

離散系統的全響應：

[yk=yhk+ypk=yxk+yfk]，離散系統全響應分為自由響應[yhk]和強迫響應[ypk]，也可以分為零輸入響應[yxk]和零狀態響應[yfk]。

無論是求解連續系統的微分方程還是求解離散系統的差分方程相同的是都包含以下幾個步驟：1）特征方程的求解 ;2）求初始值 ;3）求齊次解; 4）求特解 ;5）通過初始值求待定系數等。也就是說求解思路是一樣的。所不同的是，求初始值的方法不同，前者初始值用積分求，后者的初始值用遞推;齊次解的表達式也不一樣，前者，特征根在指數上，后者特征根在底部。

4 傅里葉變換與拉普拉斯變換、z變換的比較

4.1 三者之間的關系[3]

[ft]的傅里葉變換為[Fjω]，簡記作[ft?Fjω]，[Fft=Fjω]，

[Fjω=-∞+∞fte-jωtdt]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

傅里葉逆變換為：

[F-1Fjω=ft=-∞+∞Fjωejωtdω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）