對偶分裂四元數的表示矩陣的棣莫弗定理

孔祥強，趙培臣

(菏澤學院數學與統計學院，山東 菏澤 274015)

分裂四元數是非交換的結合代數，且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].文獻[4-5]研究了分裂四元數及雙曲型交換四元數的極表示.文獻[6-7]定義了新的非交換環并給出2階實矩陣的棣莫弗定理.文獻[8-11]研究了對偶四元數表示矩陣及分裂半四元數的棣莫弗定理.有關對偶分裂四元數的研究已取得部分成果[12-16].本文將對偶分裂四元數的研究轉化為對其四階表示矩陣的研究，通過引入極表示，給出對偶分裂四元數表示矩陣的不同形式的棣莫弗定理，同時得到對偶分裂四元數表示矩陣方程的求根公式.

符號R、D、H、HD分別表示實數集、對偶數集、分裂四元數集、對偶分裂四元數集，I4表示4階實單位矩陣.

1 對偶分裂四元數

2 對偶分裂四元數的表示矩陣

定理1 任一對偶分裂四元數均可表示為D上的4階矩陣.

由此可定義對偶分裂四元數集合為D上4階對偶矩陣集合

3 對偶分裂四元數表示矩陣的棣莫弗定理

3.1 Nq>0，NVq<0時的情形

證明由數學歸納法，設對任意的正整數n，有

故

又

所以

故對任意的整數n，結論成立.

3.2 Nq>0，NVq>0時的情形

則

證明根據歸納法，設對任意的正整數n，有

故

故對任意的整數n，結論成立.

3.3 Nq<0，NVq<0時的情形

且：

(1) 當n為奇數時，

(2) 當n為偶數時，

定理4的證明與定理2—3的方法類似，此處不再贅述.

(1) 當n為奇數時，

(2) 當n為偶數時，

4 對偶分裂四元數表示矩陣的方程的根

其中k為整數.

其中k=0，1，2，…，n-1.

當k=0時，第1個根為

當k=1時，第2個根為

依次可求出其余根.

5 結語

對偶分裂四元數及其表示矩陣是四元數領域研究的重要課題.本文從對偶分裂四元數的極表示出發，分3種情形分別介紹了對偶分裂四元數表示矩陣的棣莫弗定理，推廣了歐拉公式.當對偶角為實數角時，得到了表示矩陣方程的求根公式.以本文為基礎，可進一步研究對偶分裂四元數的其他問題.