李代數sl(2，C)的斜導子

2021-10-18 00:46:20遠繼霞

東北師大學報(自然科學版) 2021年3期

易揚，遠繼霞

(黑龍江大學數學科學學院，黑龍江哈爾濱 150080)

0 引言

李代數是現代數學的重要基礎，促進了Kac-Moody代數、量子群等新興分支的出現和發展，和群論、拓撲、微分幾何以及理論物理都有密切聯系，并在上述領域中有許多的應用.研究者對于李代數的導子做了許多研究工作.[1-9]文獻[5]引出斜導子是通常導子的自然推廣之一，也是廣義導子和時滯導子的一個推廣.文獻[2-4]中已經得到了一些關于廣義斜導子的結果.許多學者對素環和半素環上的偏斜導子做了許多細致深刻的探討.文獻[5]介紹了素環和半素環上的對稱斜3-導子的概念.文獻[1]將廣義斜導子的定義推廣到R的右Martindale商環Q上.本文將文獻[7]中斜導子的定義推廣到了李代數上，并研究了sl(2，C)的自同構所確定的斜導子的形式，得出對sl(2，C)任意的自同構σ，σ-導子空間是1維或3維的.

1 預備知識

本文設C是復數域，所有的向量空間都是在復數域C上的向量空間.設V是C上的向量空間，End(V)為V上的所有線性變換構成的集合.對于一個李代數g，記Autg為g的自同構群.

定義1[7]對于σ∈Autg，令D是g上的線性變換，滿足

D([x，y])=[Dx，y]+[σ(x)，Dy]，?x，y∈g，

(1)

則稱D為李代數的斜導子(或σ-導子).

令Derσg為g的所有σ-導子構成的集合.注意到Derσg對于線性變換的加法和數乘構成一個線性空間，將其稱為g的σ-導子空間.顯然任意一個李代數的導子是id-導子，因此斜導子是導子的推廣.本文將研究典型李代數sl(2，C)的σ-導子.回憶李代數sl(2，C)的結構，sl(2，C)是由跡為零的2×2矩陣構成的李代數，不難驗證它有以下的一組基：

而且基元之間的運算滿足下面的關系式

[h，e]=2e，[h，f]=-2f，[e，f]=h.

2 斜導子的刻畫

下面進行斜導子的刻畫，引入如下引理：

談話前,盧一平表現得漫不經心若無其事。他和郝桂芹回顧了家里的收支狀況,感嘆物價飛漲,報怨收入微薄,接下來,是感嘆孩子借讀的開銷和老人醫護費的攀升。看見郝桂芹連連點頭、默認,盧一平知道火候到了,機會來了。他開始分析了,他開始總結了。總結的結果,是這樣下去將會坐吃山空。得出的結論,是必須改弦易轍才能扭轉局面。

證明由于A可逆，故ad-bc≠0，分成bd≠0和bd=0討論.當bd≠0時，即為情況(1).當bd=0時，可分為b=0和d=0.若d=0，即為情況(2).若b=0，可分為c≠0和c=0，a≠d以及c=0，a=d討論.c≠0即為情況(3)；c=0，a≠d即為情況(4)；c=0，a=d即為情況(5).

引理2[6]對每個可逆陣A，令σA(X)=A-1XA，則σA是李代數sl(2，C)的自同構，且sl(2，C)的所有自同構是映射XA-1XA所組成的集合.