利用改進(jìn)的熱核特征分析三維網(wǎng)格的局部對(duì)應(yīng)

楊 熙 黃健民(廣西師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院 廣西 桂林 541004) (廣西師范大學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣西 桂林 541001)

0 引 言

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和幾何處理中，形狀對(duì)應(yīng)是最基本的問題之一，隨著微軟Kinect掃描儀、3D等技術(shù)的發(fā)展，在許多領(lǐng)域(如分子生物學(xué)、機(jī)械工程、醫(yī)學(xué)圖像分析)中形狀對(duì)應(yīng)越來越受到人們的重視，找到內(nèi)在的三維形狀之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可應(yīng)用于三維掃描對(duì)齊、紋理映射、形狀變形和動(dòng)畫等[1]。

由于形狀具有較大的非剛性變形，使得尋找到一種較好的對(duì)應(yīng)具有很大的挑戰(zhàn)性，在過去的幾十年里，大量的研究學(xué)者致力于三維形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系。早期的形狀對(duì)應(yīng)方法側(cè)重于剛性形狀，而剛性形狀之間的轉(zhuǎn)換可以通過平移、旋轉(zhuǎn)和比例因子等參數(shù)來參數(shù)化，因此，這些參數(shù)可以通過迭代等優(yōu)化方法進(jìn)行評(píng)估。隨著研究的深入，一大批學(xué)者開始把目光轉(zhuǎn)移到非剛體的形狀對(duì)應(yīng)，與剛性形狀對(duì)應(yīng)相比，建立非剛體形狀之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更具挑戰(zhàn)性。其中非剛性的形狀匹配可以表述為圖匹配問題，即點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而等距屬性是尋找模型間對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)重要依據(jù)[2]。文獻(xiàn)[3]通過尋找測(cè)地屬性來試圖建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，但對(duì)于三維網(wǎng)格模型之間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化比較大的情況下，仍然不能取得讓人滿意的結(jié)果。文獻(xiàn)[4]提出了一種新的多維尺度分析算法(Multi-dimensional scale，MDS)，并將此算法與擴(kuò)散距離相結(jié)合去解決測(cè)地距離對(duì)于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化較大而不能取得良好效果的問題。雖然結(jié)果令人滿意，但是該算法效率較低。Ovsjanikov等[5]提出了新的方法去解決三維網(wǎng)格模型的對(duì)應(yīng)問題，即通過拉普拉斯-貝爾特拉米算子嵌入譜空間，以簡(jiǎn)化對(duì)應(yīng)關(guān)系去提高計(jì)算的效率，但嵌入對(duì)應(yīng)對(duì)于頂點(diǎn)數(shù)目比較多的模型會(huì)存在一定的誤差，不能達(dá)到精確的對(duì)應(yīng)。為了解決形狀對(duì)應(yīng)所存在的一系列問題，Sun等[6]提出了新的等距屬性，即熱核特征描述符(Heatkernel signatures，HKS)，它能夠賦予模型頂點(diǎn)一個(gè)特定的函數(shù)值，以覆蓋模型的整體，通過匹配對(duì)應(yīng)源模型與目標(biāo)模型之間不同部位的函數(shù)值以達(dá)到對(duì)應(yīng)匹配關(guān)系。但熱核特征對(duì)于模型的尺度變化比較敏感，具有不穩(wěn)定性。Aubry等[7]根據(jù)熱核特征也提出了一個(gè)相似的波核特征(Wave kernel signatures，WKS)，波核特征反映了三維網(wǎng)格模型上不同頂點(diǎn)作為量子能量的分布情況，每個(gè)頂點(diǎn)的波核特征對(duì)應(yīng)著這個(gè)量子的剩余能量以及量子對(duì)應(yīng)的能量等級(jí)，是對(duì)熱核特征的一種局部的補(bǔ)償。文獻(xiàn)[8]首次提出了函數(shù)映射(Functional maps，F(xiàn)M)理論，通過分別將源模型與目標(biāo)模型映射到譜空間去尋找真實(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，雖然能夠得到比較精準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但卻解決不了模型自身的對(duì)稱性問題。文獻(xiàn)[9]提出了一種網(wǎng)格壓縮流形模式，可以壓縮模型的整體特征以獲得局部的支持，并且具有很好的噪聲干擾及對(duì)不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)很好的魯棒性，但是不能滿足精確的插值約束。隨后Houston等[10]提出了一種快速計(jì)算與自然排序的算法，通過對(duì)模態(tài)的改進(jìn)，加快了模型的壓縮速度。文獻(xiàn)[11]通過改進(jìn)函數(shù)映射理論，來重新計(jì)算三維網(wǎng)格模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，減少了點(diǎn)到點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系的等距誤差。文獻(xiàn)[12]介紹了一種新的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的密集形狀對(duì)應(yīng)，通過將對(duì)應(yīng)關(guān)系的計(jì)算直接作為學(xué)習(xí)過程的一部分，以達(dá)到端到端的培訓(xùn)并返回匹配結(jié)果。

為了有效解決同一種經(jīng)過非剛體變換模型之間的對(duì)應(yīng)問題，本文通過對(duì)參考文獻(xiàn)[6,9-10]的研究，將壓縮流形模式應(yīng)用到非剛體模型變換之間，并且取得了非常好的對(duì)應(yīng)局部壓縮部位，從而能夠根據(jù)壓縮特征函數(shù)設(shè)置不同的閾值，得到不同的壓縮部位，取得確定的壓縮局部頂點(diǎn)數(shù)量與位置，從而進(jìn)行下一步的局部對(duì)應(yīng)匹配。在局部對(duì)應(yīng)匹配中，本文將離散化的壓縮流形基替換傳統(tǒng)的離散化拉普拉斯算子以改進(jìn)熱核特征，改進(jìn)之后的熱核特征與原來的相比在局部對(duì)應(yīng)上有更加明顯的效果。本文貢獻(xiàn)如下：(1) 將壓縮流形模式應(yīng)用到新的領(lǐng)域以解決非剛體模型之間的形狀對(duì)應(yīng)問題；(2) 解決了非剛體三維網(wǎng)格模型之間的局部特征提取問題；(3) 對(duì)熱核特征進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)之后的效果明顯優(yōu)于之前。

1 拉普拉斯算子

拉普拉斯算子被定義為梯度(▽f)的散度(▽·f)，是一個(gè)二階微分算子。在n維歐幾里得空間中，拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為L(zhǎng)aplace-Beltrami算子。

Laplace-Beltrami算子[13]是拉普拉斯算子從平面空間到黎曼流形的一般化，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有著廣泛的用途，由于其具有良好的等距不變性，并對(duì)三維模型的網(wǎng)格面收斂，因此可以應(yīng)用到任意的三維模型上[14-15]。

三維網(wǎng)格模型是可以離散化的，根據(jù)已有的理論及定義在三維網(wǎng)格模型上的函數(shù)，可以得到一個(gè)線性的拉普拉斯-貝爾特拉米算子，根據(jù)算子可以構(gòu)建一個(gè)算子矩陣。本文在余切權(quán)重法的基礎(chǔ)之上，又多增加了一個(gè)三維網(wǎng)格模型的頂點(diǎn)面積，來構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯-貝爾特拉米算子[16]，即：

L=A-1W

(1)

式中：A是一個(gè)對(duì)角矩陣,A的對(duì)角元素Aii等于與頂點(diǎn)i相鄰的三角形面積之和的三分之一。

如圖1所示，頂點(diǎn)i的面積等于其周圍5個(gè)三角形面積之和的三分之一，其中每一個(gè)三角形面積的計(jì)算方法是根據(jù)向量積法求面積，即向量臨邊構(gòu)成的三角形面積等于向量臨邊構(gòu)成平行四邊形面積的一半。

W是一個(gè)對(duì)稱的稀疏矩陣，矩陣W的計(jì)算方法一般為余切權(quán)重法[13]，i、j分別為三維網(wǎng)格模型的頂點(diǎn)，如圖2所示。

其對(duì)應(yīng)的公式如下：

(2)

對(duì)得到的Laplace算子矩陣L進(jìn)行特征分解，即可得到所需要的特征值和特征向量。

2 熱核特征

熱核特征描述符，又稱為HKS描述符，是用于非剛體網(wǎng)格模型形狀分析的特征描述子，屬于譜形狀分析方法。對(duì)于三維網(wǎng)格模型形狀上的每個(gè)點(diǎn)，HKS定義了它的特征向量用于表示點(diǎn)的局部和全局屬性。HKS[6]是基于熱核屬性提出來的，是基于拉普拉斯-貝爾特拉米算子的形狀描述符。通過計(jì)算模型上各點(diǎn)的熱量分布最大值，來得到模型表面的幾何特征[17]。

HKS是基于表面熱擴(kuò)散的概念產(chǎn)生的，給定一個(gè)表面初始熱量分布為U0(X)。式(3)表示t時(shí)間內(nèi)熱量從x點(diǎn)轉(zhuǎn)移到y(tǒng)點(diǎn)所需要的熱量。

(3)

式中：Δ是一個(gè)拉普拉斯算子所構(gòu)成的矩陣；u(x,t)是點(diǎn)x在時(shí)間t的熱分布。

熱核對(duì)等距變化是不變的，而且對(duì)小的擾動(dòng)穩(wěn)定。另外，熱核能完全等距表征一個(gè)形狀，并且隨著時(shí)間t的增加，就越能表示形狀的全局屬性。因?yàn)閔t(x,y)為一個(gè)時(shí)間域內(nèi)的一對(duì)點(diǎn)(x,y)的定義，需要計(jì)算兩兩之間的數(shù)據(jù)，因此使用熱核直接作為特征將導(dǎo)致較高的復(fù)雜度。而HKS只考慮ht(x,y)，將其自身限制在時(shí)間域內(nèi)，在特定的條件下保留了熱核大部分屬性。對(duì)于黎曼流形M上的熱擴(kuò)散方法如下：

(4)

式(4)的解可以表示為：

(5)

對(duì)熱核進(jìn)行特征分解得到：

(6)

式中：λi和Φi是Δ的第i個(gè)特征值和特征向量。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的特征描述子，HKS將熱核限制到時(shí)間域內(nèi)，即：

(7)

熱核特征是會(huì)隨著時(shí)間的流逝而有所改變，時(shí)間的不同，熱核值也就不同。通常經(jīng)過一段時(shí)間之后，就可以得到三維網(wǎng)格模型的擴(kuò)散信息以獲得模型的幾何信息[18]。然而，由于熱核特征方程是隨著時(shí)間變化的函數(shù)，時(shí)間不同，每個(gè)模型頂點(diǎn)的熱核特征值也不同。為了給每個(gè)模型一個(gè)準(zhǔn)確不變并且區(qū)分變化最大的頂點(diǎn)，需要找到一個(gè)有利的確定的時(shí)間，來有效區(qū)分模型的每個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)已有的理論及證明，將時(shí)間設(shè)定為0.01，這樣根據(jù)式(7)的熱核方程就可以給每個(gè)模型頂點(diǎn)一個(gè)確定的值。

由于熱核是模型的內(nèi)在屬性，對(duì)模型的等距等容變換具有尺度不變性，并且對(duì)畸變?cè)肼曈辛己玫姆€(wěn)定性。此外熱核特征也使得模型的頂點(diǎn)具有時(shí)域的多尺度特性，這些特性使得熱核特征可以成為非剛體模型對(duì)應(yīng)的有利依據(jù)。

3 壓縮流形模式

Ozolins等[17]提出了一種求一般微分算子壓縮特征函數(shù)的方法。為此，他們添加了一個(gè)稀疏誘導(dǎo)l1范數(shù)的變分公式，即給定一個(gè)參數(shù)μ∈R+控制稀疏，就會(huì)有：

〈φk,φj〉=δkj

(8)

式中：δkj是克羅內(nèi)克函數(shù)，這里用來加強(qiáng)特征函數(shù)的正交性。這些壓縮的特征函數(shù)被證明具有緊湊的支持：它們只在有限的區(qū)域是非零的。緊湊的大小可以由μ控制，一個(gè)較大的值會(huì)導(dǎo)致小地區(qū)的支持。為了計(jì)算壓縮流形基，將式(8)擴(kuò)展到適用于三角形網(wǎng)格。這里要特別考慮面積矩陣D。沒有D，特征基不獨(dú)立于網(wǎng)格分辨率，三維網(wǎng)格的離散化如下：

s.t.ΦTDΦ=I

(9)

接下來使用乘法器(ADMM)的交替方向優(yōu)化求解，為了能夠有效地利用ADMM，需要對(duì)式(9)進(jìn)行重新表述[9]：

s.t.Φ=S,Φ=E

(10)

注意這兩個(gè)獨(dú)立的耦合約束是如何迫使變量Φ等于S和E的，如果恰好滿足了這些約束，那么我們就又回到了式(9)。將原來的最小化問題重新表述使我們能夠應(yīng)用ADMM方法，為此引入了對(duì)偶變量U∈R2N×k，U=[UE,US]對(duì)應(yīng)于兩個(gè)輔助變量E和S。給定Φ的初始值，令E=S=Φ，U=0，然后該算法將迭代以下步驟求解：

(11)

(12)

(13)

(14)

4 壓縮局部的形狀對(duì)應(yīng)

4.1 壓縮三維網(wǎng)格模型

壓縮流形模式能夠自動(dòng)識(shí)別網(wǎng)格的關(guān)鍵形狀特征。它們會(huì)自動(dòng)將局限的局部區(qū)域分組，比如突出物并將脊線分為單獨(dú)的基函數(shù)。由于其獨(dú)特的空間局部性，它們對(duì)重要的幾何和拓?fù)湓肼?如局部掃描所產(chǎn)生的噪聲)具有很強(qiáng)的魯棒性。因此，CMB(Compressed manifold basis)可以作為魯棒形狀分析和匹配的工具。同時(shí)，CMB是正交基，可以重構(gòu)任意形狀上定義的函數(shù)，精度可達(dá)任意程度。因此，利用壓縮流形基壓縮三維網(wǎng)格的非剛體變換之間的特征表示，使得非剛體模型之間的壓縮部位相同，找到相同部位的相等頂點(diǎn)，可應(yīng)用于三維網(wǎng)格的局部對(duì)應(yīng)匹配。效果如圖3-圖5所示。

圖3 半人馬的局部壓縮對(duì)應(yīng)1

圖5 狼的不同位置的局部壓縮對(duì)應(yīng)

通過兩種不同動(dòng)物的不同部位，可以看出，壓縮的部位是由φ和μ共同控制的，參數(shù)的不同，模型的壓縮部位就會(huì)不同。其中沒有顏色的部分特征函數(shù)無限接近于0，因此可以隨意按照自己的需求去壓縮任意局部(可以是一個(gè)手指的局部，例如圖4；也可以是手、手臂等)，之后對(duì)熱核特征的改進(jìn)也是任意局部。

同時(shí)也可以通過設(shè)置不同的壓縮特征函數(shù)的大小，來截取相同部位的不同大小，一般設(shè)置特征函數(shù)的絕對(duì)值大于0.001以上。壓縮的大小范圍也是可以通過參數(shù)控制的，一般參數(shù)μ的值越大，壓縮的局部支持就會(huì)越小，當(dāng)μ等于0時(shí)，所有的特征函數(shù)為0。本文通過設(shè)置閾值的大小，得到具體的局部壓縮頂點(diǎn)的位置及個(gè)數(shù)以后，就可以進(jìn)行接下來的局部對(duì)應(yīng)匹配。

4.2 改進(jìn)HKS

熱核特征是三維網(wǎng)格模型的內(nèi)在屬性，對(duì)模型的等距等容變化具有尺度不變性。而HKS特征是由熱量在模型表面逐漸傳遞得到的，是構(gòu)成三維網(wǎng)格模型點(diǎn)信息的集合表現(xiàn)。HKS作為三維網(wǎng)格模型的特征選擇，其計(jì)算方式一般是通過相應(yīng)的離散化拉普拉斯-貝爾特拉米算子得到的，即首先計(jì)算三維網(wǎng)格模型的頂點(diǎn)面積和余切權(quán)重，通過頂點(diǎn)面積和余切權(quán)重構(gòu)建拉普拉斯算子，然后對(duì)拉普拉斯算子進(jìn)行特征值和特征向量的分解，通過分解所得到的特征值與特征向量，一般選取前30～300之間的特征值及所對(duì)應(yīng)的特征向量，通過代入熱核特征的公式來計(jì)算相應(yīng)的熱核值。本文通過對(duì)熱核特征的學(xué)習(xí)與研究，利用離散化的壓縮流形模式去替換傳統(tǒng)離散化拉普拉斯算子以改進(jìn)HKS,改進(jìn)之后的熱核特征，在三維網(wǎng)格模型的形狀對(duì)應(yīng)匹配上有更加準(zhǔn)確的效果。局部壓縮對(duì)比圖如圖6-圖7所示。

(a) 原始 (b) 改進(jìn)圖7 狼嘴巴的局部HKS

圖6、圖7的對(duì)比圖中，大部分的暗黑色為HKS設(shè)置為0的可視化，狼局部的高亮白色為正常的HKS計(jì)算及改進(jìn)的計(jì)算對(duì)比顯示。可以看出，改進(jìn)之后的HKS在局部的分層更加細(xì)膩，在更小的區(qū)域區(qū)分更加明顯(如圖7中：改進(jìn)之前的HKS只有高亮白色到淡白色的潛在變化，而改進(jìn)之后明顯出現(xiàn)了暗色系的淡黑色，層次上也是從高亮白色到淡黑色的漸變，細(xì)節(jié)分層明顯更加細(xì)膩)。因此通過對(duì)比圖的可視化，可以看出本文算法改進(jìn)的可行性及魯棒性。

4.3 局部對(duì)應(yīng)匹配

由于局部壓縮以后，頂點(diǎn)數(shù)量比較少，因此本文就選用了熱核特征來尋找對(duì)應(yīng)的真實(shí)匹配。然而，由于熱核特征方程是隨著時(shí)間變化的函數(shù)，時(shí)間不同，每個(gè)模型頂點(diǎn)的熱核特征值也不同。為了有效區(qū)分模型的每個(gè)頂點(diǎn)，需要找到一個(gè)有利的確定的時(shí)間。根據(jù)文獻(xiàn)[6]已有的理論及證明，我們把時(shí)間t設(shè)定為0.01，這樣根據(jù)熱核方程式(7)，就可以給每個(gè)模型頂點(diǎn)一個(gè)確定的值，這同樣為模型的對(duì)應(yīng)匹配提供了有利的依據(jù)。具體步驟如下：

步驟1假設(shè)源模型為A，目標(biāo)模型為B，它們具有相同的頂點(diǎn)數(shù)N，以及面片數(shù)M。首先讀取模型各自的頂點(diǎn)信息與面片信息，根據(jù)頂點(diǎn)信息與面片信息，利用向量積(叉積)法計(jì)算三維模型每一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三角面片的面積之和的三分之一，即為每一個(gè)頂點(diǎn)所賦予的面積值，利用每一個(gè)頂點(diǎn)所賦予的面積值，構(gòu)建對(duì)角矩陣A，其中要對(duì)每一個(gè)模型的頂點(diǎn)面積進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。然后根據(jù)式(2)計(jì)算各自的稀疏矩陣W，最后通過式(1)構(gòu)建拉普拉斯算子矩陣LA、LB，矩陣大小為N×N。

步驟2對(duì)各自的拉普拉斯矩陣LA、LB分別進(jìn)行特征值與特征向量的分解，分解之后的特征值一般從大到小排序，其中每一個(gè)特征值都對(duì)應(yīng)一列的特征向量。本文選取前30個(gè)大于0的特征值以及所對(duì)應(yīng)的特征向量，用來計(jì)算三維網(wǎng)格模型的熱核特征值。

步驟3通過壓縮流形基壓縮不同的模型得到不同的壓縮部位，設(shè)置特征函數(shù)的閾值，截取相應(yīng)部分的頂點(diǎn)數(shù)量及位置。讀取相應(yīng)頂點(diǎn)的熱核特征來做具體的形狀對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)方法由大到小排序即可。

步驟4以壓縮流形基所優(yōu)化求解的特征值及其特征向量替換離散化的拉普拉斯算子以改進(jìn)熱核特征，同樣讀取相應(yīng)頂點(diǎn)的熱核特征值以相同的方法進(jìn)行局部的對(duì)應(yīng)匹配。

步驟5最后通過改進(jìn)前后各自的匹配結(jié)果來評(píng)估效果的好壞。

本文中圖形的展示分別采用了稠密對(duì)應(yīng)以及稀疏對(duì)應(yīng)匹配，效果圖如圖8-圖12所示。

圖8 半人馬原始局部對(duì)應(yīng) 圖9 半人馬改進(jìn)局部對(duì)應(yīng)

圖10 貓的原始局部對(duì)應(yīng) 圖11 貓的改進(jìn)局部對(duì)應(yīng)

(a) 原始 (b) 改進(jìn)圖12 狼的局部對(duì)應(yīng)

為了更加直觀地表現(xiàn)對(duì)比效果，圖中只有貓是稠密對(duì)應(yīng)，其他都為稀疏對(duì)應(yīng)。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由于TOSCA模型庫(kù)中的模型給出了準(zhǔn)確的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及TOSCA模型庫(kù)中包含了動(dòng)物和人類七種不同的模型，并且每一種模型都有不同的經(jīng)過非剛體變換之后所形成的不同姿態(tài)，因此本文隨機(jī)選取TOSCA模型庫(kù)中的模型對(duì)本文算法進(jìn)行驗(yàn)證，并與改進(jìn)之后的算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

給定一種衡量模型對(duì)應(yīng)關(guān)系的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。即給定源模型A和目標(biāo)模型B，由某一方法計(jì)算得到的對(duì)應(yīng)關(guān)系為f：A→B，而非剛體模型之間的準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)關(guān)系為fture：A→B。對(duì)于源模型A上的任一點(diǎn)P，f(P)表示計(jì)算出的P點(diǎn)在目標(biāo)模型B上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，fture(p)表示P點(diǎn)在目標(biāo)模型B上的真實(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。那么可以用測(cè)地距離dN(f(p),fture(p))來表示P點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系的準(zhǔn)確性，即在誤差允許的情況下，源模型與目標(biāo)模型之間的對(duì)應(yīng)匹配，其中Area(B)表示目標(biāo)模型的面積，公式如下：

(15)

由于本文壓縮頂點(diǎn)數(shù)量相較于整體而言比較少，因此，本文對(duì)比數(shù)據(jù)均采用真實(shí)的對(duì)比匹配，即在沒有測(cè)地誤差的情況下所表示的匹配率，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

可以看出，無論是不同模型之間壓縮相同的部位(例如貓的尾巴和狼的尾巴)，還是同一種模型壓縮不同的部位(例如狼的下巴及狼的尾巴)，改進(jìn)之后的真實(shí)對(duì)應(yīng)匹配都要優(yōu)于之前。由此可以看出本文算法具有很好的魯棒性。同時(shí)，在非剛體模型之間壓縮模型的局部，本文算法能夠精準(zhǔn)地找到相同的壓縮頂點(diǎn)，從而能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行局部的對(duì)應(yīng)匹配。

5 結(jié) 語

本文提出的利用壓縮流形模式應(yīng)用于非剛體三維網(wǎng)格模型變換之間，解決了非剛體三維網(wǎng)格模型之間的形狀對(duì)應(yīng)問題。同時(shí)在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中，對(duì)于非剛體模型的形狀對(duì)應(yīng)也并不一定需要整體的全部對(duì)應(yīng)，有的可能僅僅是需要對(duì)應(yīng)于某一局部，本文算法正好解決了這一問題，并且提高了算法的效率以及局部的精準(zhǔn)匹配。同時(shí)在匹配過程中改進(jìn)了熱核特征，使其局部對(duì)應(yīng)效果更加突出。與已有算法相比，本文算法具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1) 本文算法在非剛體模型之間可以精確地確定某一部位的精準(zhǔn)頂點(diǎn)數(shù)量與位置，縮短了局部對(duì)應(yīng)的時(shí)間與效率，同時(shí)為局部對(duì)應(yīng)提供了一個(gè)新的解決思路；(2) 本文算法改進(jìn)了熱核特征，為以后的整體對(duì)應(yīng)匹配埋下了伏筆。