多環(huán)諧振微陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響分析

谷留濤，張衛(wèi)平，馮 軍

（微米納米加工技術(shù)國家級重點實驗室，上海交通大學 電子信息與電氣工程學院微納電子學系， 上海 200240）

微機電(Micro Electromechanical System, MEMS)諧振陀螺儀因其體積小、功耗低、可批量制造等優(yōu)勢，在消費電子、工業(yè)和航天領(lǐng)域越來越受到青睞[1]。在各種MEMS 諧振陀螺儀中，盤形諧振微陀螺儀（Disk Resonator Micro-gyroscope, DRG），特別是多環(huán)諧振微陀螺儀（Ring-like Disk Resonator Gyroscope, RDRG），由于諧振器結(jié)構(gòu)的對稱性、低錨定損耗、大模態(tài)質(zhì)量和對外部振動的免疫力而受到了廣泛的關(guān)注[2-4]。目前常見的設(shè)計高性能多環(huán)諧振微陀螺的思路主要分為兩種：（1）不改變多環(huán)諧振微陀螺的拓撲結(jié)構(gòu)，僅改變其結(jié)構(gòu)參數(shù)，實現(xiàn)性能的提高。輻條長度對多環(huán)諧振微陀螺的性能具有一定的影響[5]，斯坦福大學通過有限元仿真分析了環(huán)寬、環(huán)數(shù)、輻條角度、輻條寬度對多環(huán)諧振微陀螺諧振頻率和品質(zhì)因子的影響，并通過加工制造樣機的方式證明了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化提升陀螺儀性能的可行性[6]。國防科技大學提出了一種基于改進粒子群算法的多環(huán)諧振微陀螺結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，解決了多參數(shù)在固定情況下的優(yōu)化問題[7]；（2）改進多環(huán)諧振微陀螺的拓撲結(jié)構(gòu)使其達到更高的性能。在環(huán)形諧振微陀螺的拓撲優(yōu)化方面，國內(nèi)的上海交通大學、國防科技大學、蘇州大學分別提出了齒輪環(huán)、蜂窩狀環(huán)[8]和蛛網(wǎng)狀環(huán)形結(jié)構(gòu)[9]，增加了環(huán)形諧振微陀螺對徑向誤差和制造誤差的免疫力，降低了微陀螺的頻率裂解，提高了機械靈敏度。

為了進一步提高多環(huán)諧振微陀螺的性能，需要更加全面地了解其結(jié)構(gòu)參數(shù)對關(guān)鍵性能的影響。本文采取控制變量的方法研究了各個結(jié)構(gòu)參數(shù)對微陀螺諧振頻率、品質(zhì)因子、有效質(zhì)量、角度增益、機械靈敏度和機械熱噪聲的影響，并對其進行了理論解釋，提供了多環(huán)諧振微陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理建議。

1 結(jié)構(gòu)與理論分析

1.1 基本結(jié)構(gòu)

多環(huán)諧振微陀螺整體上是全對稱的二維平面結(jié)構(gòu)。其中，中央錨點為圓盤形狀，位于整個陀螺的中心位置，并固定于下面的基底上；相鄰諧振環(huán)之間以及最內(nèi)層諧振環(huán)和中央錨點之間都通過相間分布的輻條連接；諧振環(huán)和輻條為懸空結(jié)構(gòu)，與中央錨點一起構(gòu)成諧振子；外圍有16 個周期分布的電極，電極與最外層諧振環(huán)之間留有一定間隙，從而形成若干組電容器，這些電容器可以用于驅(qū)動、檢測和調(diào)諧等。微陀螺模型結(jié)構(gòu)參數(shù)標注如圖1，包括諧振子半徑R，中央錨點半徑r，諧振環(huán)寬度Wr，輻條寬度Ws，輻條長度Ls，諧振子厚度H，電容間隙d0，諧振環(huán)數(shù)目N。

圖1 多環(huán)諧振微陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖Fig.1 Structure parameters schematic of disk resonator gyroscope

1.2 機械靈敏度

機械靈敏度定義為檢測軸方向的振動幅值與輸入角速度之比，它表示微陀螺在結(jié)構(gòu)上對于輸入角速度的靈敏性，單位為m/(rad/s)。由于加工誤差，驅(qū)動軸和檢測軸的剛度和阻尼并不完全一樣，從而導(dǎo)致驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)的不對稱性。根據(jù)微陀螺動力學方程可以推導(dǎo)出存在頻率裂解情況下的機械靈敏度表達式：

其中，Ag表示微陀螺的角度增益，meff表示有效質(zhì)量，F(xiàn) 表示驅(qū)動力大小，wA和wB分別表示驅(qū)動和檢測模態(tài)的諧振角頻率，QA和QB分別表示驅(qū)動和檢測模態(tài)的品質(zhì)因子。當不存在頻率裂解時(wA= wB)，機械靈敏度達到最大：

其中，w0表示不存在頻率裂解時的諧振角頻率，滿足：w0= wA= wB；Q 表示不存在頻率裂解時的品質(zhì)因子，滿足：Q = QA= QB。

1.3 機械熱噪聲

機械熱噪聲的物理機制是布朗運動，由分子碰撞引起。根據(jù)漲落耗散定理機械熱噪聲對于微陀螺的影響可以等效為一個隨機的、高斯分布的、平均值為零的漲落力。這個力的譜密度可以表示為式(3)[10]，其單位是

其中，KB是玻爾茲曼常數(shù)，為1.38065×10-23J/K；γ 是阻尼系數(shù)，驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)分別取γA、γB。該力會對微陀螺驅(qū)動軸和檢測軸的運動均產(chǎn)生影響。驅(qū)動軸的位移可以由驅(qū)動電壓控制并保持在恒定的幅值，因此機械熱噪聲對于驅(qū)動軸的影響可以忽略。可以得到檢測軸方向布朗運動位移的譜密度，如式(4)所示，其單位是

于是，機械熱噪聲的影響可表示為一個額外的輸入角速度，這個角速度的譜密度大小可以由式(5)求得，其單位是

當不存在頻率裂解時，機械熱噪聲的大小為：

2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響

為了研究各個結(jié)構(gòu)參數(shù)對微陀螺性能的影響，采取控制變量的方法：改變其中某一個結(jié)構(gòu)參數(shù)的值，并保持其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，然后對比其性能參數(shù)（諧振頻率f0、品質(zhì)因子Q、有效質(zhì)量meff、角度增益Ag、機械靈敏度Smech和機械熱噪聲Ωmech）。諧振頻率、品質(zhì)因子、有效質(zhì)量、角度增益都可以由COMSOL 單獨求解，其中品質(zhì)因子用熱彈性品質(zhì)因子QTED表示。這里僅考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響，暫不考慮由于結(jié)構(gòu)不對稱導(dǎo)致的頻率裂解，因此機械靈敏度和機械熱噪聲分別由式(2)和式(6)求解。驅(qū)動力大小F 由電路控制，與施加的電壓大小和驅(qū)動方式有關(guān)。由于本文僅考慮結(jié)構(gòu)對性能的影響，因此在計算機械靈敏度和機械熱噪聲時可以假設(shè)驅(qū)動位移為定值，這里取1 μm。

2.1 諧振子寬度（Wrs）的影響

諧振子寬度是指組成諧振子的諧振環(huán)和輻條的寬度，假設(shè)兩者具有相同的寬度，記為Wrs。將諧振子寬度由10 μm 變?yōu)?0 μm，得到的結(jié)果繪制于圖2(a)。隨著諧振子寬度變大，諧振頻率變大，品質(zhì)因子變小，有效質(zhì)量增大，角度增益幾乎不變，機械靈敏度降低。機械熱噪聲并非單調(diào)變化，且變化幅度不大。整體而言，諧振子寬度較小時的機械熱噪聲更小。雖然諧振子寬度變大可以增大有效質(zhì)量，但由于其他性能降低太多，最終導(dǎo)致機械靈敏度和機械熱噪聲變差。因此，要提高微陀螺的整體性能應(yīng)該盡量減小諧振子寬度。然而，由于微加工技術(shù)的一些限制因素（如加工精度的限制、加工過程中的散熱問題等），諧振子寬度不可以無限制地縮小。需要根據(jù)實際加工條件，設(shè)計合理的寬度。此外，過窄的諧振子在加工過程中有可能出現(xiàn)斷裂，在工作過程中的抗沖擊能力也會降低。

圖2 諧振子寬度和厚度對性能的影響Fig.2 Influence of resonator width and thickness on performance

2.2 諧振子厚度(H)的影響

諧振子厚度H 對微陀螺性能的影響如圖2(b)。可以看出，諧振子厚度對諧振頻率和角度增益幾乎沒有影響，且對品質(zhì)因子和機械靈敏度的影響很小。不過隨著諧振子變厚，有效質(zhì)量變大，機械熱噪聲變小。這說明，諧振子厚度并不是影響性能的主要因素，不過在加工條件達到要求的情況下，應(yīng)該盡量設(shè)計較厚的諧振子。這里的加工條件主要是指刻蝕深寬比，由于在電容間隙一定的情況下，諧振子越厚，則要求更大的刻蝕深寬比，然而過大的刻蝕深寬比并不容易實現(xiàn)。

2.3 諧振環(huán)寬度（Wr）和輻條寬度（Ws）的影響

前面討論了在諧振環(huán)和輻條寬度相等的情況下，諧振子寬度對性能的影響。然而諧振環(huán)和輻條寬度對微陀螺性能的影響不一定相同。因此有必要分別對兩者的影響進行研究。諧振環(huán)寬度和輻條寬度的影響如圖3 所示。可以看出，諧振環(huán)寬度或輻條寬度對角度增益均無影響。兩者寬度變大會導(dǎo)致諧振頻率變大、品質(zhì)因子變小、機械靈敏度降低、機械熱噪聲增大，其中輻條寬度對這些性能的影響相對較小。此外，諧振環(huán)寬度變大可以較明顯地增大有效質(zhì)量，而輻條寬度的變化幾乎對有效質(zhì)量無影響，這說明諧振子的有效質(zhì)量主要由諧振環(huán)決定。

圖3 諧振環(huán)寬和輻條寬度對性能的影響 Fig.3 Influence of ring width and spoke width on performance

2.4 中央錨點半徑（r）的影響

中央錨點的尺寸決定了整個諧振子固定部分所占的比例，該比例可以用中央錨點半徑與諧振子半徑之比AOR 來表示：

在諧振子半徑一定的情況下，中央錨點半徑變化會影響 AOR 的大小。將中央錨點半徑設(shè)置在0.4 mm～2.4 mm 的變化范圍內(nèi)，并觀察各性能參數(shù)的變化，如圖4(a)所示。隨著中央錨點尺寸的變大，諧振頻率增大、品質(zhì)因子減小、有效質(zhì)量增大，角度增益幾乎不變，且機械靈敏度和機械熱噪聲均減小。

圖4 中央錨點半徑和諧振子半徑對性能的影響Fig.4 Influence of center anchor radius and resonator radius on performance

2.5 諧振子半徑（R）的影響（r 不變，AOR 變化）

諧振子半徑也是微陀螺的一個關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)。這里先討論在中央錨點半徑不變時諧振子半徑的影響，注意，此時AOR 是變化的。如圖4(b)，隨著諧振子半徑的增大，微陀螺的整體性能將得到提高，主要表現(xiàn)在品質(zhì)因子增大、有效質(zhì)量增大、機械靈敏度增大、機械熱噪聲減小。同時還可以觀察到諧振子半徑對角度增益幾乎沒有影響。因此要提高微陀螺的性能，可以增大諧振子半徑。然而需要注意的是，諧振子半徑將直接決定微陀螺整體尺寸，由于MEMS 小尺寸的要求，諧振子半徑不能太大。此外，對比中央錨點半徑和諧振子半徑對微陀螺性能的影響可以發(fā)現(xiàn)，諧振子半徑的影響更明顯。

2.6 諧振子半徑（R）的影響（AOR 不變）

前面分別分析了中央錨點半徑和諧振子半徑的影響，但這兩者單獨變化時會使得AOR 發(fā)生變化，不能觀察出在AOR 不變時諧振子半徑的影響。這里將AOR 設(shè)置為定值（AOR=0.45））并討論此時諧振子半徑的影響，如圖5(a)所示。通過對比圖4(b)與圖5(a)可知，AOR 一定或r 一定時，諧振子半徑對微陀螺性能的影響趨勢是相似的，且影響均較大。這進一步說明，與中央錨點半徑相比，諧振子半徑對微陀螺性能的影響大得多。

2.7 諧振子環(huán)數(shù)（N）的影響

諧振子由同心的圓形諧振環(huán)嵌套而成，因此諧振環(huán)數(shù)目也可能對性能產(chǎn)生影響。將諧振環(huán)數(shù)目由3 變?yōu)?5，并將結(jié)果繪制于圖5(b)。

圖5 諧振子半徑（AOR 不變）和諧振環(huán)數(shù)目對性能的影響Fig.5 Influence of resonator radius (AOR unchanged) and ring number on performance

諧振頻率和品質(zhì)因子受諧振環(huán)數(shù)目的影響較小，且兩者的變化均不是單調(diào)的。隨著諧振環(huán)變多，有效質(zhì)量變大，且角度增益幾乎不變。機械靈敏度的變化也不是單調(diào)的，且變化較小。機械熱噪聲隨著諧振環(huán)數(shù)目的增加會逐漸降低。需要注意的是，隨著諧振環(huán)數(shù)目增大，諧振環(huán)之間的間隙會逐漸變小，這同樣會受到刻蝕深寬比的限制，因此需要綜合考慮性能和工藝條件，設(shè)計合理的諧振環(huán)數(shù)目。

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能影響的解釋

通過上述分析可知，多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性品質(zhì)因子QTED與諧振頻率之間存在密切聯(lián)系，這與Zener 熱彈性阻尼理論[11]十分相似。因此多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性阻尼可能與Zener 熱彈性阻尼理論存在一定聯(lián)系。將多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性品質(zhì)因子和諧振頻率的仿真結(jié)果與Zener 熱彈性阻尼理論繪制于同一張坐標圖上，如圖6 所示。為了便于觀察，圖中每個結(jié)構(gòu)參數(shù)只顯示4～6 個取值。可以看出，多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性品質(zhì)因子可以與Zener 曲線很好地擬合。這說明多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener 熱彈性阻尼理論來近似。

圖6 Zener 曲線與多環(huán)諧振微陀螺熱彈性阻尼的對比Fig. 6 Comparison of Zener curve and thermoelastic damping of disk resonator gyroscope

增大諧振環(huán)寬度或輻條寬度會增加諧振子實際質(zhì)量，因此有助于增大有效質(zhì)量。同時這也導(dǎo)致有效剛度明顯增加，最終諧振頻率增大。此外，由于諧振子在彎曲方向的寬度變大，熱弛豫時間增大。這使得微陀螺工作在更靠近德拜峰的位置，從而品質(zhì)因子降低。根據(jù)式(2)，機械靈敏度隨之降低。根據(jù)式(6)，機械熱噪聲與成反比，由于有效質(zhì)量增大、諧振頻率增大、品質(zhì)因子降低，三者乘積并不一定呈現(xiàn)單調(diào)變化，因此機械熱噪聲的變化也不一定是單調(diào)的。

當諧振環(huán)和輻條寬度不變時，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化幾乎不會對熱弛豫時間產(chǎn)生影響，此時諧振頻率與品質(zhì)因子具有相反的變化趨勢。根據(jù)式(2)，機械靈敏度與成正比。因此只要降低諧振頻率就能提高機械靈敏度。這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對諧振頻率的影響如下：中央錨點變大會使得微陀螺被固定的部分變多，從而諧振頻率增大；諧振子半徑增大會使得微陀螺尺寸變大，從而更容易起振，即諧振頻率降低；諧振環(huán)數(shù)目變多一方面會增大微陀螺的實際質(zhì)量，從而使得有效質(zhì)量增大，另一方面也會增大有效剛度，因而此時諧振頻率并不是單調(diào)變化。機械熱噪聲由于與0w Q 成反比，因此也不會呈現(xiàn)單調(diào)變化。此外，環(huán)形諧振陀螺的角度增益約為0.4，這一結(jié)論同樣適用于多環(huán)諧振微陀螺，因而角度增益不會隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化。有效質(zhì)量的增加主要是因為這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化增加了微陀螺的實際質(zhì)量。

4 結(jié) 論

本文使用有限元方法分析了多環(huán)諧振微陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能的影響，對于設(shè)計高品質(zhì)因數(shù)的多環(huán)諧振微陀螺具有一定的指導(dǎo)作用。結(jié)果表明：（1）相比于其他結(jié)構(gòu)參數(shù)，諧振環(huán)寬度和諧振子半徑是影響微陀螺性能最主要的兩個因素。減小諧振環(huán)寬度、增大諧振子半徑可以有效地提高微陀螺的性能；（2）多環(huán)諧振微陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener 熱彈性阻尼理論近似；（3）多環(huán)諧振微陀螺角度增益大小約為0.4，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對微陀螺的角度增益幾乎無影響；（4）微陀螺的有效質(zhì)量主要由諧振子中的諧振環(huán)決定，因此增大諧振環(huán)寬度、增加諧振環(huán)數(shù)目可以明顯增大有效質(zhì)量。根據(jù)上述特點，在設(shè)計微陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)時，可以采取以下設(shè)計思路：首先根據(jù)性能要求和工藝條件初步確定諧振子半徑和諧振環(huán)寬度，然后再綜合考慮工藝上的限制、抗沖擊能力等因素，確定諧振子厚度、諧振環(huán)數(shù)目、中央錨點半徑等。