基于BDS-3五頻超寬巷/寬巷組合的中長基線單歷元定位方法

高 旺，潘樹國，劉力瑋，李 陽，惠 哲

（1. 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096； 2. 自然資源部大地測量數據處理中心，西安 710054）

我國北斗三號（BDS-3）全球衛星導航系統已于2020 年7 月31 日正式開通，標志著北斗正式邁進全球服務時代。與北斗二號（BDS-2）在 B1I（ 1561.098 MHz ）、 B2I （ 1207.14 MHz ）、 B3I（1268.52 MHz）上播發三個頻率信號相比，BDS-3在B1C（1575.42 MHz）、B1I（1561.098 MHz）、B2a（ 1176.45 MHz ）、 B2b （ 1207.14 MHz ） 和 B3I（1268.52 MHz）上播發五個頻率信號[1]。更多的觀測頻率除了增加可用觀測數量上的冗余外，還能通過組合構造出更多具有優良特性的組合觀測值，通常具有長波長、弱電離層影響以及低噪聲等特性。這些優勢對于提升整周模糊度解算、周跳探測以及定位解算性能等具有顯著的意義[2,3]。

使用多頻組合觀測值，最為突出的優勢是一些整系數之和為零的超寬巷/寬巷模糊度能夠較容易地求解。經典的三頻模糊度解算方法，如TCAR 方法[4]、CIR 方法[5]，均是先解算出最易求解的超寬巷模糊度，在此基礎上利用模糊度固定的超寬巷輔助寬巷解算，進而利用寬巷輔助窄巷解算。早期模型主要針對短基線并采用簡單的無幾何模型，在此前提下通常忽略電離層延遲的影響。后續學者在此基礎上陸續提出了一系列改進的算法，更多地考慮了中長基線情況下電離層延遲的影響以及采用多星聯立的幾何相關模型，一定程度上擴展了三頻模糊度解算模型的適用性和可靠性[6-8]。但是，需要指出的是，在中長基線情況下，由于非模型化誤差、觀測噪聲等的存在以及受限于自身的觀測值波長較短，窄巷模糊度仍然難以實現單歷元瞬時固定，通常需要數個歷元進行平滑或濾波。

盡管在中長基線情況下，窄巷模糊度難以實現瞬時固定，但如能充分利用模糊度容易固定的超寬巷/寬巷觀測值，對于提升定位性能同樣具有較大的價值。模糊度固定后的超寬巷/寬巷即類似于高精度的“偽距”，盡管無法提供類似窄巷的厘米級定位，但相比偽距觀測值仍然具有較大的提升，且具有和偽距定位相當的實時性和連續性[9]。事實上，一些定位應用場景如車道級車輛導航、航道測量、高精度人員定位等，分米至亞米級的定位即可滿足其精度要求，而在定位的連續性方面具有更高的要求。針對這一需求，文獻[8-10]等利用GPS 或BDS-2 三頻數據，提出采用三頻超寬巷/寬巷觀測值進行長距離實時精密定位，結果驗證了中長基線情況下，三頻超寬巷/寬巷觀測值能提供單歷元無需初始化的分米至亞米級定位。

針對BDS-3 五頻信號，文獻[3]研究了無幾何模型應用于不同組合的模糊度解算性能，在82.5 km 的中長基線情況下，三個超寬巷模糊度單歷元固定成功率接近100%，但寬巷和基礎模糊度固定成功率僅分別為95.97%和75.88%，表明無幾何模型有時難以實現中長基線寬巷和基礎模糊度的單歷元可靠固定。本文在已有三頻超寬巷/寬巷單歷元定位及BDS-3 五頻模糊度解算研究的基礎上，以實現可靠的中長基線單歷元分米級定位為目標，研究無幾何和幾何相關模型相結合的BDS-3 五頻超寬巷/寬巷組合模糊度單歷元可靠解算模型和相應的單歷元定位方法，并從理論和實測數據實驗兩個角度對模糊度解算和定位的性能進行分析和驗證。

1 BDS-3 五頻載波觀測值組合模型

針對中長基線情況，考慮對流層和一階電離層延遲影響的BDS-3 載波和偽距觀測方程可表示為：

式中，Δ 表示站間星間二次差分算子；φ 和P 分別表示以距離為單位的載波和偽距觀測值；下標j 表示衛星觀測頻率；ρ 表示站星距離；T 表示對流層延遲;1I 表示對應第一個頻點上的一階電離層延遲；表示第j 個頻點上的電離層延遲系數， fj表示信號頻率；λ 表示載波信號波長；N 表示整周模糊度；ε 表示觀測值噪聲。

對于式(1)中所示的觀測方程，可對其進行觀測值線性組合。五頻情況下，按周以整系數組合的載波觀測值可表示為[2-3]：

相對應的觀測方程可表示為：

式(2)(3)中， ik( k=1,2, … ,5)表示組合系數。組合觀測值相應的頻率電離層延遲系數整周模糊度以及噪聲放大系數可表示為：

2 長基線五頻超寬巷/寬巷模糊度解算及定位模型

聯立式(1)中所示的偽距方程以及式(3)所示的組合載波方程，可得式(5)所示觀測方程。對于五頻觀測值，在滿足整系數之和為零的眾多組合中，僅有四個線性無關組合，即任意一個組合系數為零的整數組合均可由這四個線性無關組合通過線性組合得到[8]?？紤]組合系數的任意性，式(5)中的四個超寬巷/寬巷組合理論上可有無窮多種選擇。為了選取最優組合觀測量，可采用分步解算的方法逐步選取最優的組合觀測量[11]，具體步驟為：

（1）聯立式(5)中的五個偽距觀測方程與第一個超寬巷/寬巷觀測方程進行聯合解算，采用無幾何無電離層（GIF）模型，共同估計雙差幾何項 Δρ + ΔT 、雙差電離層延遲 ΔI 以及組合模糊度在[-10,10]的系數范圍內進行遍歷，選取求解精度最優的組合系數。由于消除了幾何項和電離層項的影響，在忽略多路徑誤差影響的前提下，該模糊度的求解理論上僅受觀測噪聲的影響。通過遍歷搜索，可得BDS-3五頻組合中，模糊度求解精度最高的組合為(1,-1,0,0,0)，取雙差偽距和載波觀測值精度 σΔP和 σΔφ分別為0.5 m 和0.5 cm 時，模糊度先驗求解精度為0.041 周，如表1 所示；

（2）當（1）中最優的(1,-1,0,0,0)超寬巷模糊度固定后，即可視為高精度的“偽距”觀測值，與五個偽距觀測方程共同輔助求解第二個超寬巷模糊度，同樣按照（1）中的搜索原則進行遍歷，可得次優的觀測組合。需要說明的是，兩個載波組合觀測值聯立解算時需要考慮組合觀測值之間的交叉相關性[8]。通過遍歷搜索可知，次優組合不唯一，有若干個組合的模糊度解算精度均為 0.043 周，選取其中組合系數較小的(0,0,-1,1,0)作為次優組合；

（3）次優組合確定后，兩個超寬巷方程與偽距組合進一步聯立解算，同樣可得若干個解算精度相同的觀測組合，選擇(0,0,0,-1,1)作為第三個最優組合；按照同樣的方式可得第四個最優組合(0,1,-1,0,0)。

上述各步驟中，各模糊度求解精度分別如表1 中模糊度固定數量為0～3 時對應精度所示，為了對比分析模糊度固定對后續模糊度解算的影響，模糊度固定數量為0 對應的列也給出了各組合直接與偽距觀測值聯合求解的模糊度精度。同時表1 的最后一行也給出了在不同模糊度固定數量情況下的站星距離估計精度，如模糊度固定數為 0 時的站星距離精度為0.960 m，即表示偽距求解的站星距離精度；而模糊度固定數為4 時，即表示四個超寬巷/寬巷均固定后的站星距離精度可達0.206 m。

表1 BDS-3 五頻超寬巷（EWL）/寬巷(WL)模糊度及相應的站星距離估計精度Tab.1 Precision of BDS-3 EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

從表1 中所示結果可以看出，采用無幾何無電離層模型時，BDS-3 五頻組合中，有三個超寬巷的模糊度求解精度較高，分別為0.041 周、0.043 周和0.061周，且該模型中不受幾何項誤差和電離層誤差的影響，按照如式(6)所示的先驗成功率計算公式，可得其四舍五入取整的成功率幾乎為100%。同時可發現，第二和第三個組合觀測值直接與偽距觀測值聯立求解也可獲得較高的精度，尤其是第二個超寬巷組合，解算精度幾乎相同。這表明在實際解算時，為簡化計算的流程，可同步將該三個超寬巷組合與偽距聯合求解，而無需分步解算。

式(6)中，σ 為觀測值噪聲造成的模糊度隨機性誤差。

當最優的三個超寬巷模糊度固定后，對應的站星距離估計精度可從0.960 m 提升至0.805 m，表明此時能實現定位精度的提升，但提升幅度非常有限，仍需繼續求解第四個寬巷模糊度。與上述三個較易固定的超寬巷組合不同，第四個寬巷組合對應的求解精度僅為0.207 周，對應的取整成功率為98.43%，表明此時直接取整存在一定的風險。但如果第四個寬巷模糊度能夠正確求解，對應的站星距離估計精度將可大幅提升至0.206 m，這意味著當定位精度因子（Position Dilution of Precision, PDOP）為1 時，對應的三維定位精度將達到0.206 m。

為了提高上述第四個寬巷模糊度的求解精度，可聯立多個衛星對的雙差觀測方程（包括偽距和模糊度固定的超寬巷方程），采用幾何相關模型進行最小二乘聯合求解。此時式(5)中的雙差站星距參數 Δρ 將分解為[d x, d y ,d z ]三個坐標分量與對應方向余弦的乘積。由于對流層參數 ΔT 與坐標中的高程分量具有較強的相關性，為了保證參數之間的非耦合性，且考慮到對流層延遲的大部分可通過模型予以改正，因此在寬巷模糊度求解時忽略殘余對流層延遲的影響，而不作為參數估計。此時的未知參數X 為：

求得寬巷模糊度的浮點解及其對應的方差-協方差矩陣后，采用最小二乘降相關（Least-Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment, LAMBDA）方法進行模糊度的搜索和固定。模糊度固定后回代入觀測方程，即可求得固定解情況下的坐標解d x, d y,dz。

為對比分析BDS-3 五頻的優勢，表2 給出了BDS-2 和GPS 三頻觀測值采用上述超寬巷/寬巷分步解算時的模糊度求解精度及最終的站星距離精度。聯合表1 和表2 可以看出，BDS-3 在模糊度的解算和站星距離精度方面均優于BDS-2 和GPS，尤其在站星距離精度方面，BDS-3 相比BDS-2 和GPS 分別提升了60.08%和57.35%。

表2 BDS-2 和GPS 超寬巷（EWL）/寬巷(WL)模糊度及站星距離估計精度Tab.2 Precision of BDS-2 and GPS EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

3 解算實驗

為驗證上述單歷元超寬巷/寬巷模糊度解算和定位的性能，采用一組實測的BDS-3 五頻中長基線數據進行驗證。該基線數據來源于陜西省參考站網，觀測日期為2020 年9 月22 日（24 小時），基線長度106.3 km，采樣間隔為10 s。解算過程中，設定參與解算的衛星截止高度角為10 °，觀測值隨機模型采用指數高度角模型[12]，其中非差的偽距和載波精度分別設定為0.3 m 和2 mm。單歷元解算時，首先采用無幾何無電離層模型對單個衛星對的超寬巷進行解算，其中三個超寬巷模糊度與偽距觀測方程同步解算（非分步）；其次利用模糊度固定的超寬巷方程聯立偽距觀測方程，采用幾何相關模型，解算第四個寬巷模糊度。為減弱殘余對流層延遲等非模型化誤差對模糊度固定的影響，僅對高度角大于20 °的寬巷模糊度進行整數搜索。

該時段內包含五頻數據的BDS-3衛星數及其對應的PDOP 如圖1 所示，其中可視衛星數量在7～11 顆范圍內波動，相應的PDOP 值在1.5～3.5 范圍內，可以看出單BDS-3 系統滿足獨立進行定位的觀測條件。

圖1 BDS-3 可視衛星數及對應的定位精度因子Fig.1 Visible satellites of BDS-3 and corresponding position dilution of precision (PDOP)

超寬巷模糊度采用GIF 模型的解算偏差如圖2 所示，圖中不同的顏色對應不同BDS-3 衛星的結果，模糊度結果的比較真值采用多歷元平滑的結果。為了對比分析第四個寬巷模糊度解算的效果，圖2(d)也給出了第四個寬巷（0, 1, -1, 0, 0）組合采用GIF 模型解算的結果。四類模糊度結果的統計如表3 所示，表中給出了各個模糊度組合偏差的均方根（Root Mean Square, RMS）誤差，以及模糊度偏差b 的分布情況。從圖2(a)-(c)可以看出，（1, -1, 0, 0, 0）、（0, 0, -1, 1, 0）和（0, 0, 0, -1, 1）三個超寬巷組合的單歷元模糊度偏差均在 0.5± 周內，對應的RMS 統計值均小于0.04 周，且在 0.2± 周以內的比例高于99.99%，這表明采用四舍五入取整方法即能夠可靠固定。實際應用時，為了將取整的納偽概率控制在較低的水平，可采用縮小的取整區間，根據本文實驗，建議采用 0.2± 作為三個超寬巷的取整區間。從圖2(d)可以看出，（0, 1, -1, 0, 0）寬巷組合則無法取得上述三個超寬巷相當的解算效果，其RMS 統計值為0.161 周，且有較多的模糊度偏差接近甚至超出 0.5± 周，這意味著如果直接采用四舍五入取整將存在較大的風險甚至導致取整錯誤。

圖2 超寬巷/寬巷模糊度采用GIF 模型時的單歷元模糊度偏差Fig.2 Single-epoch EWL/WL ambiguity biases with GIF mode

表3 超寬巷/寬巷模糊度解算結果統計Tab.3 Statistics of the EWL/WL ambiguity resolution

由于采用GIF 模型無法實現單歷元可靠固定，因此對第四個寬巷模糊度采用幾何相關模型進行多星聯合解算。采用最小二乘計算后，根據模糊度浮點解及其相應的方差-協方差矩陣，可計算模糊度解算精度因子（Ambiguity Dilution of Precision, ADOP）和模糊度次優/最優方差比值（Ratio），分別如圖3 和圖4 所示。其中ADOP 表征了模糊度求解的先驗精度，是從模型強度的角度評估模糊度解算的可靠性；而Ratio 則是通過比較最優固定解和次優固定解方差二次型，從后驗角度評估解算的效果，一般設定為2～3，本文采用2.5 作為其閾值。

圖3 寬巷模糊度精度因子Fig.3 WL ambiguity dilution of precision (ADOP)

從圖3 可以看出，單歷元寬巷模糊度解算的ADOP 均在0.12 周以內，等效于模糊度解算的先驗成功率高于99.9%[13]；從圖4 中可以看出絕大部分歷元均能通過Ratio 閾值檢驗，僅有10 個歷元低于該閾值，固定率可達99.88%。

圖4 (0,1,-1,0,0)寬巷模糊度固定Ratio 值Fig.4 Ratio of (0,1,-1,0,0) WL ambiguity fixing

寬巷模糊度固定后，將模糊度回代入觀測方程，即可求得固定解情況下的坐標解，通過與坐標真值比較，在北（N）、東（E）和天（U）三個方向上的定位誤差結果如圖5 所示。為了體現單歷元超寬巷/寬巷定位解相比偽距定位的優勢，圖5(b)中也給出了采用式(5)中偽距觀測值的定位解。兩種模型的定位精度統計如表4 所示。采用單歷元超寬巷/寬巷固定解模型，N/E/U 三個方向上的定位精度分別為0.161 m、0.187 m和0.457 m，可實現單歷元分米級定位；而采用偽距觀測值時，定位精度分別為0.386 m、0.389 m 和0.872 m，超寬巷/寬巷固定解相比偽距的定位精度在三個方向上分別提升了58.29%、51.93%和47.59%。

表4 超寬巷/寬巷及偽距定位精度統計(RMS)Tab.4 Statistics of the positioning results with EWL/WL and pseudorange observations

圖5 超寬巷/寬巷及偽距定位精度對比Fig.5 Positioning error comparison with EWL/WL and pseudorange

4 結 論

以實現可靠的中長基線單歷元分米級定位為目標，本文研究提出了一種基于BDS-3 五頻超寬巷/寬巷組合的中長基線單歷元定位方法。首先采用偽距/載波聯合的無幾何無電離層模型解算三個超寬巷模糊度，理論分析和實測數據實驗均表明三個超寬巷模糊度具有較高的解算精度，單歷元即可通過取整可靠固定；然后采用幾何相關模型，聯立多個衛星對的雙差觀測方程（包括偽距和模糊度固定的超寬巷方程），進行最小二乘求解第四個寬巷模糊度，實驗結果表明單歷元模糊度固定率可達99.88%。

通過理論分析可得，BDS-3 固定四個超寬巷/寬巷模糊度后，站星距離精度可達0.206 m，相比三頻BDS-2 和GPS 分別提升60.08%和57.35%；中長基線實測數據結果表明，利用BDS-3 五頻觀測值，超寬巷/寬巷模糊度固定后在北/東/天三個方向的定位精度分別為0.161 m、0.187 m 和0.457 m，能夠實現單歷元實時分米級定位。