聯結·整合·推演·擴散

朱群芳

【摘 要】本文以“三角形三邊關系”一課的教學設計為例，探究基于動態操作教學環境下的教學方法，以提高學生課堂參與度，培養學生的實踐能力，促進學生自主、合作、探究的學習方式的養成，最終引領學生的思維水平從低階走向高階，實現能力與素養共同提升。

【關鍵詞】動態操作 動態想象 動態思維

一、研究緣起

（一）一次教學實踐

在教學“三角形三邊關系”一課時，學生在教師的引導下，利用三角形三邊關系，對問題“一個三角形的三條邊的長度都是整厘米數，其中兩條邊分別是3厘米和4厘米，那么第三條邊可能是多少厘米？”進行探究。學生得出了第三條邊的取值范圍：第三條邊如果是最長邊，那么已知的兩條邊就是較短邊，它們的關系就是3+4>（ ），最長邊就是6;如果第三條邊是最短邊，那么4就是最長邊，它們的關系就是3+ （ ） >4，最短邊就是2。所以第三條邊就應該在2～6之間，最后得出結論：兩邊之和>第三邊>兩邊之差。課堂上，當時學生們似乎都已經明白了第三條邊的取值范圍，教師自感教學效果比較好。隨后，教師用以下兩道習題來進一步了解學生的學習效果。

（1）三根小棒長分別是3厘米、3厘米、7厘米，請判斷它們是否能圍成三角形。

（2）一個三角形其中的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么第三條邊最長是（? ? ）厘米，最短是（? ? ）厘米。（三條邊的長度都取整厘米數）

測試結果：習題（1）全班學生都能正確作出判斷，正確率達100%;習題（2）的正確率是62.2%。從比格斯團隊的SOLO分類評價理論來看，習題（1）是對學生低階思維水平的測試，學生正確率很高;習題（2）則是對學生高階思維水平的測試。從測試數據分析來看，學生答題情況與教師教學這部分內容的教學效果有很明顯的出入。

（二）反思

本課操作性強，為了幫助學生主動建構知識網絡，深刻理解三角形三邊關系的本質，教師需要考慮讓操作材料活起來、關聯起來，操作過程以一定的邏輯推進，充分引發作為操作主體的學生不斷自我發問、釋疑，進而讓學生伴隨著鮮活的操作過程展開一系列的想象和思維，在一系列的操作過程中積累大量的第一手感性經驗，形成正確的知識點，建構起三角形的三邊關系概念，從而達到培養學生從具體形象思維走向高階邏輯思維的學習目的。

二、再分析與再設想

（一）對教材的再分析

三角形三邊關系的學習注重實際操作，不但要引導學生從直觀層面把握三角形，更要從關系層面把握三角形。在人教版教材中，它是小學四年級下冊《三角形》這個單元“三角形的特性”中的其中一部分內容（見圖1）。旨在引導學生從擺三角形入手，經歷“操作—觀察—比較—推理—驗證”等過程，得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論，培養學生的操作能力和邏輯思維能力。

（二）對教學的再設想：以動態操作去深度建構

基于以上分析與思考，筆者認為，關于“三角形三邊關系”的教學，采用動態操作教學模式，選擇合適的操作材料，改變操作材料的呈現方式，引領學生經歷動態操作、動態想象、推理與驗證的過程，以辨析、歸類、推理、驗證、形成概念的探究形式，可以完成三角形概念的深度建構，形成一個內涵豐富、鮮活可變的三角形概念。以下展示教學流程（見圖2）：

三、聯結·整合·推演·擴散的探索

（一）聯結——起于行，收于思，在實踐操作中強化三角形概念

動態操作教學倡導營造生動活潑、積極主動、富有個性的學習氛圍。三角形三邊關系的學習，需要實現學生對三角形概念從淺表性的感性認識到相對精準認識的跨越，引導學生在“說一說—擺一擺（指導規范操作）—想一想”的學習過程中，強化對三角形的認識，有效實現與原有知識體系的聯結，實現起于行，收于思。

1.強化概念，加深理解

在學生原認知的基礎上指導學生擺三角形，一方面，重現三角形的模型，再次直觀感知三角形，為研究三邊關系做好鋪墊;另一方面，潛移默化地指導了圍的方法，為后續的操作活動做示范，很好地解決了操作材料客觀性的問題。而用吸管作為學具，是因為人教版配套學具袋里每生備有一套，方便且可行性強。

2.引起猜想，激發探究

在這樣的操作中，原本存在于學生頭腦中的大量的三角形生活原型就會浮現出來，讓學生在圍得成與圍不成的認知沖突中再次審視、碰撞、激疑，從而產生進一步動手擺一擺驗證的欲望。

（二）整合——鑒于思，再于行，在動態操作中感知三角形三邊關系

考慮到操作材料的選擇及呈現方式的問題：獨立的幾組材料不具有關聯性。本環節設計，教師試圖通過把幾組操作材料進行整合后整體呈現，讓學生帶著問題經歷“自主組合—動手操作—辨析歸類（動態演示）—得出結論”的探究過程，初步整體感知三角形三邊關系。

1.打破模型，感知關系

可以由用3根吸管圍一圍，改為從4根吸管中選擇3根去圍一圍，打破既有模型，教學材料的開放性與關聯性為動態操作提供可能。學生在選一選、圍一圍、換一換、再圍一圍的動態操作中直觀、全面感知三角形三邊關系，在操作、觀察、比較中想象，在探究中發現，最后在辨析中逐步完善認知，達成初步建構，充分發揮學習的主動性。

2.展示操作，動態激活

從學習環節的邏輯性來看，以“四選三”的形式，形成4組不同的組合（①10cm、5cm、4cm;②10cm、6cm、4cm;③10cm、6cm、5cm;④6cm、5cm、4cm）。有序組合的4組存在關聯，學生通過換一換就從“圍得成”變成了“圍不成”，又從“圍不成”變成了“圍得成”的操作活動中感悟到：兩條短邊之和大于第三邊——圍得成三角形;兩條短邊之和小于第三邊或與第三邊相等——圍不成三角形。于是有了如下的教學：

[操作提示]

每人4根吸管，長分別為：10cm、6cm、5cm、4cm。

（1）任選3根圍一圍，可以怎么選？有幾種選法？

（2）這幾種選法都能圍成三角形嗎？

（3）圍一圍，把結果記錄下來。

（4）思考：3根吸管，什么情況下不能圍成三角形？什么情況下能圍成三角形？能否圍成三角形，和什么有關？怎樣調整邊的長短就能圍成三角形？

[反饋交流部分環節]

師：把10cm、6cm、5cm這一組中6cm這根換成4cm，大家都認為圍不成，為什么圍不成呢？請你擺一擺，具體說一說。

（生操作演示）

師：這位同學圍的時候一直在把兩根吸管活動的一端慢慢往下壓，你覺得他為什么要這樣做？

生：這樣能讓兩根吸管的端點越來越接近，可是就算放平了（見圖3），這兩個端點也沒能接上，所以10cm、5cm、4cm這一組不能圍成三角形。

師：把前面這一組中的5cm這根換成6cm，其他兩根不變（10cm、6cm、4cm），對于能否圍成三角形，請大家說一說想法。

生1：把5cm這根換成6cm來圍（見圖4），3根吸管首尾相連了，所以圍得成三角形。

生2：雖然做到首尾相連了，但是高不見了，所以圍不成三角形。

師：吸管本身有一定的寬度，圍的過程會有比較大的誤差，如果把這3根吸管變成細細的線段，誤差就會小得多。我們看電腦演示一下。（邊放邊問：接上了嗎？——接上了嗎？——現在接上了嗎？）

生：接上了，可是現在和最長邊重合了，所以還是圍不成三角形。

學生在動態操作中自然地將從直觀層面把握三角形轉向從三邊長短關系層面把握三角形，特別是“兩邊之和與第三邊相等能否圍成三角形”這個問題出現爭議時，教師放慢圍三角形的過程，讓學生看明白：3根吸管如果不能做到端點相連或所有端點都在同一條直線上，則圍不成。這一動態操作不僅幫助學生達成了統一意見，還進一步提出猜想：兩條短邊之和比第三邊長，能圍成三角形。在熱烈的探究中，學生不斷修正、完善認知，思維循序漸進，步步走向深入，最后架構起新的認知結構，學生的邏輯推理能力也自然而然地獲得了提升。

（三）推演——再于行，深度思，在動態操作中驗證并形成三角形三邊關系概念

數學學習，不僅要使學生學到數學知識，還要養成嚴謹的學習態度。采取數形結合，通過改變動態操作，組織學生以畫一畫、量一量、算一算、比一比的方式，在大量的多樣化的具象三角形的支撐下，可以進一步驗證前面得出的結論。

1.數形結合，豐富表象

一個“以四人小組為單位，組內同學畫的三角形盡量不一樣”的要求，豐富了感知的材料，彌補了前面擺三角形時種類單一的缺陷;在方格紙上畫三角形，為學生能快速準確地畫出不同種類的三角形提供了便利，操作方式設計巧妙。

2.驗證推理，提升邏輯

交流環節，通過設問“看看我們圍的、畫的三角形，除了兩條短邊之和大于第三邊外，是否還存在著其他兩邊之和大于第三邊的情況？”，引導學生再次探究，不僅讓學生對三角形三邊關系的認識逐步從猜想到驗證、從認識不全面到深刻、從結論特殊性到一般性，強化了理性認識，同時也讓學生學到了研究問題的一般方法和途徑，培養了學生嚴謹的思維態度。在這樣的思路下，教師設計了如下操作活動：

師：從剛才的探究中我們發現，當較短兩邊之和大于第三邊時能圍成三角形。那是不是任何三角形的三條邊都具有這樣的關系呢？請同學們在方格紙上任意畫一個三角形，量一量、算一算，驗證一下。

通過實踐和討論，學生們一一驗證。

師：（小結）雖然大家畫的三角形大小、形狀不同，但是三角形的三邊關系是一樣的。

這一驗證過程讓學生逐漸從一個個的具象中抽離出來，展開深入的數學思考，達成對三角形三邊關系內涵的再次深度概括。

（四）擴散——深度思，再拓展，動態操作浸潤學生高階思維

杜威認為：經驗具有思維性，經驗的過程就是思維的過程，而思維的開始階段就是經驗。調動學生已有的經驗，對動態思維的成長和提升有著前瞻性意義。讓相互聯系的靜態內容動起來、聯結起來，并通過想象架構起完整的動態變化過程，引導學生在想象的基礎上顯性自己的數學思考。這就是本環節需要重點關注與實現的教學目標。

1.驗證學習想象，動態建構三角形三邊關系

通過課件的動態演示，帶領學生回顧前面探究中發現的“如果三條線段圍不成三角形，可以采用換一換的方法（讓短邊變長或讓長邊變短），變成能圍成三角形”，把前面已經積累的大量有聯系的靜態三角形圖像串聯起來，同時通過設問“用10厘米、5厘米的這兩條線段組成一個角，想象一下，當添上符合要求的第三邊后，三角形是什么形狀？繼續想象，當前面的這個角變大或變小的時候，第三邊的長度以及三角形形狀、大小會隨著發生怎樣的變化？”，引發學生動態想象，讓靜態圖像動起來。

2.動態操作浸潤，活躍動態思維

以變化的角為支撐，用一把尺子代替變化著的第三邊，進一步促使學生手腦并用，啟迪動態想象與動態思維，把操作活動與數學思考有機地結合起來，使操作活動更具數學味。透過操作的過程和活動現象，學生不僅建構起了三角形的三邊關系概念，實現從低階思維走向高階學習的目標，而且還學到了有效的學習方法。在這樣的思路下，形成了如下教學環節：

（1）形成新的猜想

問題一：以10cm，5cm，4cm這組為例，假如10cm，5cm這兩條不變，把4cm的這條邊換長，有哪些可能性？

問題二：怎樣驗證我們的猜想呢？

（2）驗證自身猜想

借助直尺其中一段代替需要的第三條線段（有刻度這邊），擺一擺，驗證自己的猜想。這里列舉學生擺出來的其中兩種情況（見圖5、圖6）。

（3）拓展思維深度

想一想，如果兩條短邊不變，換10厘米的這條長邊的話，可以有哪些可能性呢？猜想并驗證。已知兩條線段，要找一條線段與這兩條線段圍成三角形，這條邊的長度應該在怎樣的一個范圍內？在這個區間內，三角形的形狀是怎樣隨著第三邊的長度變化而變化的？

學生在用尺代替第三邊來驗證想象的動態操作過程中，觀察到三角形三條邊之間關系的不斷變化，“兩邊之和>第三邊>兩邊之差”的感悟也就水到渠成了。在動態操作中建構起三角形的三邊關系，實現從低階思維走向高階學習。

四、結論

在平行班教學后，同樣對“一個三角形的三條邊的長度都是整厘米數，其中兩條邊分別是3厘米和4厘米，那么第三條邊可能是多少厘米？”進行檢測，74%的學生不僅得出了正確答案，而且還能利用手中的學具，有理有據地說出第三邊的變化區間，班級中近15%的學生說理過程雖然遇到了一些困難，但也能利用前面得出的規律找到正確值，教學取得了預期效果。

可見，動態操作教學可以把知識動態聯結活動、動態操作活動、動態想象活動與靜態思維總結活動有機地結合起來，能引領學生直觀而又有深度地發現概念的內涵，完成知識的自主建構，達到思維水平從低階走向高階的目標，實現學生能力從單一到多元、知識從個體到系統、學習過程從枯燥到有趣、學習方式從描述到直觀、認識過程從跳躍到演繹的轉變。