探究課本習題、提高復習效率

摘要：眾所周知，每年各地的中考試題大都源于教材，但高于教材，所以對課本習題的研究就成為必然，同時也是教師的責任和義務，體現了教師的基本功. 同時通過題目變化，滲透數學思想方法，積累解題經驗，提高復習效率，下面就一道課本習題作為中考復習中的探究談點做法，以期拋磚引玉。

關鍵詞：中考;證法;探究

人民教育出版社2013年6月版八年級下冊69頁第14題，題目：四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD外角平分線CF于點F. 求證：AE=EF.（圖1）

一、證法探究

分析：思路1，抓住∠BAE和∠CEF相等，構造與△ECF全等的三角形，從而會想到AB的中點G，連接EG，（如圖2），證△AGE≌△ECF，問題得到解決。

思路2，構造與△ABE全等的三角形，從而會想到過點F作FH⊥BC交BC的延長線于點H，（圖3）直接證△ABE與△EHF全等較困難，觀察可知這兩個三角形相似，又有CH=FH，設EC=a，則AB=2a，BE=a，設CH=b，則FH=b.由△ABE∽△EHF得 ，整理得2ab=a2+ab，a=b， ，問題得到解決。

思路3，連接AF，將AE、EF放在△AEF中，將證明線段相等轉化為證明角相等。連接AC，（圖4）易證∠ACF=90°，又∠AEF=90°，所以A、E、C、F四點共圓，所以∠EAF=∠FCH=45°，問題得到解決。

二、題目中其余線段之間或角與角之間結論探究

結論1.設EF交DC于點M，由相似可知CM= AB，從而可以求AB的長，求CM的長。

結論2.連接DF，由原題結論易知△DCF是等腰直角三角形，從而可設置為：連接DF，試確定△DEF的形狀并說明理由。

結論3.探究CF與正方形的邊長之間的數量關系，由證明方法1知，CF=EG= .

三、變靜為動

1.點E不是BC的中點，為BC上一動點，且不與B、C重合，（圖5）原題中的結論還成立嗎？

由探究知，證法中的1、3可推廣到一般，那么證法2也是否可以推廣到一般呢？

設FH=x，EC=y，正方形的邊長為a.由?ABE∽?EHF。所以 ，即ay=xy+y2，a=x+y.問題解決，從而給學生一種類比，從特殊找一般的 證明思路。

2.當E從B向C運動變化時，直線EF與DC的交點M與點C之間的線段CM有一個由短到長，由長到短的變化過程，從而CM存在一個最大值。從而可設置為問題一：當點E從點B出發向點C運動，設正方形的邊長為a，EF交CD于點M，求CM的最大值。

分析：由△ABE∽△ECM，設CM=y，CE=x，則BE=a-x.則 ，當x= ?= ? 時，ymax= ?，由此可以復習建立二次函數模型求最值，滲透函數思想。

繼續延伸，當點E在BC的延長線上時，結論如何？（圖6）證法探究，類比原題證法1，在BA的延長線上取一點M（圖7），使AM=CE，連接ME，易證∠EMA=∠ECF=450，∠MAE=∠CEF=1350，問題可證。原題中的方法2、3仍可證，當點E在BC的延長線上時，AE=EF仍然成立。

通過以上探究，在復習中，利用圖形變化，可滲透類比、函數、由特殊到一般、運動變化等數學思想方法，使學生更加靈活地掌握解題方法，使復習變得高效、高能。

參考文獻：

[1] 人民教育出版社2013年6月版八年級數學下冊

[2]王春花. 挖掘教材習題潛能提高數學復習效率[J]. 青海教育， 2011， 000（007）：62-62.

[3]李紅元. 充分發揮課本例、習題作用優化復習階段"解題教學"[J]. 武漢市教育科學研究院學報， 1999.

作者簡介：陳健，男，出生于1978年1月29日，漢族，籍貫，貴州省遵義市正安縣，大學本科，現任教于正安縣第三中學 ，中學數學一級教師，任本校的數學教研組組長，主要研究初中數學課堂教學。