PT對(duì)稱腔陣列體系中失諧對(duì)單光子散射的影響分析

吳 曼，朱紅波

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

近年來(lái)，PT對(duì)稱性及與其相關(guān)的動(dòng)力學(xué)特征引起了廣泛關(guān)注[1-4]，例如單光子的散射問(wèn)題[2].量子力學(xué)中的PT對(duì)稱性很難通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)[5-9]，但PT對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)，卻可以通過(guò)在光學(xué)中采用相等的增益和耗散來(lái)實(shí)現(xiàn)[10].具有PT對(duì)稱性的一維耦合腔陣列體系中的單光子傳輸展示了豐富的特點(diǎn)[11-16].研究光子在耦合諧振器低維陣列中的傳播對(duì)實(shí)現(xiàn)全光量子器件起著關(guān)鍵作用[17-20].

本文的研究對(duì)象為具有PT對(duì)稱性的一維無(wú)限長(zhǎng)耦合腔陣列.調(diào)制體系內(nèi)腔間耦合強(qiáng)度時(shí)，討論在腔模失諧情況下單光子散射行為的改變.對(duì)比腔模共振情況下的單光子散射，分析失諧對(duì)單光子傳輸?shù)挠绊?在制備一個(gè)原子在陣列中時(shí)，研究了單光子散射的變化.

1 PT對(duì)稱腔陣列體系模型

體系模型如圖1所示，這是一個(gè)具有PT對(duì)稱性的一維無(wú)限長(zhǎng)耦合腔陣列體系，其中體系的散射核部分由9個(gè)腔組成(虛線框部分)，并設(shè)置-4腔為耗散腔，4腔為增益腔.

圖1 散射核設(shè)計(jì)為9個(gè)腔的PT對(duì)稱耦合腔陣列

體系的哈密頓量為

(1)

把單激發(fā)子空間的本征波函數(shù)表達(dá)為

(2)

將(2)式代入定態(tài)薛定諤方程H|ψk〉=Ek|ψk〉中，可以得到本征值為Ek=ω+2ξcosk，同時(shí)單光子在各腔中傳播的幾率幅之間的關(guān)系為：

ω1Uk(-4)+ξ[Uk(-3)+Uk(-5)]-iγUk(-4)=EkUk(-4)；
ω1Uk(-3)+ξ[Uk(-2)+Uk(-4)]=EkUk(-3)；
ω1Uk(-2)+ξ[Uk(-1)+Uk(-3)]=EkUk(-2)；
ω1Uk(-1)+ξ[Uk(0)+Uk(-2)]=EkUk(-1)；
ω1Uk(0)+ξ[Uk(1)+Uk(-1)]=EkUk(0)；
ω1Uk(1)+ξ[Uk(0)+Uk(2)]=EkUk(1)；
ω1Uk(2)+ξ[Uk(1)+Uk(3)]=EkUk(2)；
ω1Uk(3)+ξ[Uk(2)+Uk(4)]=EkUk(3)；
ω1Uk(4)+ξ[Uk(3)+Uk(5)]+iγUk(4)=EkUk(4).

(3)

結(jié)合單光子從左側(cè)入射時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率幅表達(dá)式為

(4)

結(jié)合式(3)、(4)式得到反射系數(shù)rL以及透射系數(shù)tL的表達(dá)式，反射率和透射率為

在文獻(xiàn)[21]中，分析了各因素對(duì)單光子傳輸?shù)挠绊懸约耙鸬娜瓷洮F(xiàn)象等.本文主要探究當(dāng)散射核腔模頻率與兩側(cè)腔場(chǎng)腔模頻率不同，同時(shí)調(diào)制腔之間耦合強(qiáng)度的大小，即失諧情況下單光子散射行為的變化.

2 失諧對(duì)PT對(duì)稱腔陣列體系單光子散射的影響

2.1 失諧對(duì)單光子散射的影響

定義陣列的散射核之外腔的頻率為ω，散射核的各腔頻率為ω1，頻率差值為失諧δ=ω-ω1.在相同的頻率失諧條件下，腔之間的耦合強(qiáng)度不同時(shí)，光子的反射和透射有很大不同.例如當(dāng)頻率差δ較小，同時(shí)耦合強(qiáng)度不屬于弱耦合范疇時(shí)，大失諧條件不一定滿足.只有當(dāng)耦合強(qiáng)度相比δ很小時(shí)，大失諧動(dòng)力學(xué)才滿足，已經(jīng)有很多近似的動(dòng)力學(xué)解析工作分析了在核外與核內(nèi)腔間頻率失諧取一定值時(shí)，單光子的散射和透射與耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系.

具有頻率失諧的單光子散射圖如圖2所示(增益(耗散)率為0.02，固定波矢為π/8，頻率失諧量分別取為1.5(紅)和1.7(藍(lán)))，以腔間耦合強(qiáng)度ξ為橫坐標(biāo)，取一定的失諧量δ=ω-ω1，分析具有固定波矢光子的反射和透射行為.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

為清晰起見(jiàn)，列出圖2的具體參數(shù)，如表1所示.

表1 圖2對(duì)應(yīng)的參數(shù)

圖2分別為失諧狀態(tài)下的單光子反射和透射率圖像.由圖2可以看出，增大頻率失諧，反射率與透射率圖像均向左平移，但變化趨勢(shì)基本保持不變.因此可以得出失諧大小的改變并不影響反射率與透射率圖像變化趨勢(shì)，但可以通過(guò)調(diào)節(jié)頻率失諧來(lái)實(shí)現(xiàn)反射率與透射率圖像的水平遷移.當(dāng)頻率失諧增大時(shí)，滿足相同的失諧條件的耦合強(qiáng)度ξ的值可以相對(duì)增大，或者對(duì)耦合強(qiáng)度要求條件會(huì)放寬.體現(xiàn)為無(wú)論對(duì)反射還是透射來(lái)說(shuō)，當(dāng)頻率的失諧改變時(shí)，圖像均同向平移.

同時(shí)可以看出，隨著失諧的增加，能夠?qū)崿F(xiàn)全反射零透射的區(qū)域變寬.隨著耦合強(qiáng)度的增加，反射率的峰值逐漸增大，透射率的峰值基本保持不變.當(dāng)耦合強(qiáng)度增加到一定值時(shí)，反射率與透射率均不改變.

2.2 正負(fù)失諧對(duì)單光子散射的影響

正負(fù)失諧就是說(shuō)對(duì)于一個(gè)δ=ω-ω1來(lái)說(shuō)，可以調(diào)制相反的失諧量，也就是ω-ω1=-δ.可以對(duì)比一下剛好相反的頻率失諧的影響.正負(fù)失諧對(duì)單光子散射的影響見(jiàn)圖3，其中增益(耗散)率為0.02，固定波矢為π/8，頻率失諧量分別為2.5(紅)和-2.5(紫).正負(fù)失諧對(duì)單光子散射行為的影響見(jiàn)圖4，其中耦合強(qiáng)度ξ取定，不同波矢的光的反射和透射不同.增益(耗散)率取0.1，固定耦合強(qiáng)度ξ=2，頻率失諧量分別為0.5(黃)和-0.5(藍(lán)).

(a)光子的反射 (b)光子的透射

(a)光子的反射 (b)光子的透射

將圖3和4的參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如表2所示.圖3是以耦合強(qiáng)度ξ為橫坐標(biāo)，正負(fù)失諧的反射率透射率圖像.當(dāng)失諧大小相同時(shí)，正負(fù)失諧的反射透射行為完全對(duì)稱.圖4是以波矢量為橫坐標(biāo)，正負(fù)失諧的反射率透射率圖像.當(dāng)失諧大小相同時(shí)，正負(fù)失諧的散射行為不再對(duì)稱.正失諧時(shí)反射率與透射率的峰值均略大于負(fù)失諧時(shí)的峰值.說(shuō)明一維無(wú)限長(zhǎng)耦合腔陣列中的散射核就像一個(gè)光子開(kāi)關(guān)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)控散射核的參數(shù)可以控制單光子在一維耦合腔陣列中的傳輸行為.

表2 圖3和圖4對(duì)應(yīng)的參數(shù)

對(duì)比頻率失諧剛好相反時(shí)，分析了耦合強(qiáng)度單光子散射的影響以及不同波矢的單光子散射.結(jié)果顯示，單光子散射與耦合強(qiáng)度和光的波矢密切相關(guān).這些討論都基于整個(gè)陣列的腔的耦合均一，也就是說(shuō)散射核的耦合與核外兩個(gè)半無(wú)限長(zhǎng)陣列的耦合強(qiáng)度完全相同.與之前的工作采取類似的調(diào)制方式[21]，我們?cè)O(shè)計(jì)散射核內(nèi)部腔之間和核外的腔之間程度不同時(shí)，分析失諧情況下光子的反射和透射特點(diǎn).

2.3 調(diào)制散射核的耦合強(qiáng)度對(duì)單光子散射的影響

本節(jié)分析了散射核內(nèi)部腔之間耦合強(qiáng)度與核外腔間耦合強(qiáng)度不同時(shí)，對(duì)比二者頻率共振與失諧兩種情況下的反射率和透射率行為.也就是分析耦合強(qiáng)度不一致時(shí)，單光子散射行為隨波矢量的變化情況以及改變散射核耦合強(qiáng)度對(duì)單光子散射的影響.因?yàn)樾枰{(diào)制散射核的耦合強(qiáng)度，所以將散射核兩側(cè)陣列的腔之間耦合強(qiáng)度用β表示，β固定為2，本征值方程變?yōu)镋k=ω+2βcosk

相同的頻率失諧δ=ω-ω1=0.5，不同的散射核耦合強(qiáng)度下的單光子散射見(jiàn)圖5，其中增益(耗散)率為0.1，頻率失諧量為0.5，散射核耦合強(qiáng)度為2(紅)和1(紫).共振時(shí)改變散射核的耦合系數(shù)，單光子散射行為的變化圖像見(jiàn)圖6，其中增益(耗散)率為0.1，頻率失諧量為δ=ω-ω1=0，散射核耦合強(qiáng)度為2(藍(lán))和1(黃).頻率共振時(shí)，減小散射核的耦合系數(shù)，在波矢k=0附近，反射率與透射率峰值明顯增大，但反射率為0的區(qū)域變窄.說(shuō)明共振狀態(tài)下，腔間耦合作用減弱，單光子散射性能增強(qiáng).

失諧狀態(tài)下，減小散射核的耦合強(qiáng)度，反射率與透射率的峰值增加，但比共振時(shí)增加的少.說(shuō)明失諧可以從一定程度上抑制耦合作用，減弱所產(chǎn)生的散射性能.從動(dòng)力學(xué)分析來(lái)說(shuō)，當(dāng)頻率失諧減小，同時(shí)耦合強(qiáng)度減弱時(shí)，整個(gè)失諧條件不一定會(huì)加強(qiáng)，也就是單純耦合減弱所帶來(lái)的必然效應(yīng)不太強(qiáng).這是本文考慮頻率失諧的同時(shí)必須結(jié)合耦合強(qiáng)度來(lái)進(jìn)行分析的主要原因.共振時(shí)，除了在相變點(diǎn)附近，其他位置均為全透射零反射.但由于失諧的存在，單光子出現(xiàn)了反射行為，但反射能力較透射能力弱.圖5和6對(duì)應(yīng)的參數(shù)見(jiàn)表3.

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率

(a)光子的反射率 (b)光子的透射率.

顏色增益率γ兩側(cè)腔的耦合強(qiáng)度失諧δ=ω-ω1散射核耦合強(qiáng)度紅線0.120.52紫線0.120.51藍(lán)線0.120.02黃線0.120.01

2.4 失諧時(shí)增益/耗散對(duì)單光子散射的影響

本文的散射核部分存在增益和耗散，探討了保持耦合強(qiáng)度不變，改變?cè)鲆媾c耗散的程度，頻率失諧和共振情況下單光子的散射的規(guī)律.分析增益/耗散對(duì)單光子散射的影響，整個(gè)腔陣列的鄰腔耦合強(qiáng)度統(tǒng)一為2.頻率失諧與共振時(shí)增益對(duì)單光子的反射與透射的影響見(jiàn)圖7，其中保持耦合強(qiáng)度不變，改變?cè)鲆?耗散)率和頻率失諧.圖7對(duì)應(yīng)參數(shù)見(jiàn)表4.

表4 圖7對(duì)應(yīng)的參數(shù)

圖7(a)和(b)為頻率失諧時(shí)改變散射核增益(耗散)率的單光子的反射和透射率.圖7(c)和(d)為頻率共振時(shí)改變散射核的增益(耗散)率的單光子反射和透射率.共振時(shí)，增大散射核的增益(耗散)率，反射率透射率的峰值明顯增加.可見(jiàn)共振狀態(tài)下，增益(耗散)率增大，單光子散射性能增強(qiáng).并且共振狀態(tài)下單光子透射具有波矢對(duì)稱性.失諧狀態(tài)下，增大散射核的增益(耗散)率，反射率的峰值增加，但增加不明顯，透射率基本保持不變.說(shuō)明失諧狀態(tài)可以從一定程度上抑制增益增強(qiáng)所產(chǎn)生的散射性能.

(a)光子反射率，頻率失諧δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(紅)，γ=0.1(紫)；(b)光子透射率，頻率失諧δ=0.5，增益(耗散)率γ=0.13(紅)，γ=0.1(紫)；(c)光子反射率，增益(耗散)率γ=0.13(藍(lán))，γ=0.1(黃)；(d)光子透射率.增益(耗散)率γ=0.13(藍(lán))，γ=0.1(黃)

3 總結(jié)

本文在散射核與兩側(cè)陣列腔之間頻率失諧情形下，研究了單光子在具有PT對(duì)稱性的一維無(wú)限長(zhǎng)腔陣列中的傳播，并與頻率共振條件下的單光子散射行為進(jìn)行了對(duì)比.

對(duì)于固定波矢的光來(lái)說(shuō)，頻率失諧會(huì)造成反射與透射圖像隨著耦合強(qiáng)度的平移.這是與動(dòng)力學(xué)失諧條件相符的.同時(shí)，隨著失諧增加，在耦合強(qiáng)度域里全反射區(qū)域會(huì)變寬.而正失諧時(shí)反射率與透射率的峰值均略大于負(fù)失諧時(shí)的峰值.這說(shuō)明一維無(wú)限長(zhǎng)耦合腔陣列中的散射核就像一個(gè)光子開(kāi)關(guān)，適當(dāng)?shù)恼{(diào)制散射核的參數(shù)可以控制單光子在一維耦合腔陣列中的傳輸行為.同時(shí)可以改變?cè)鲆?耗散腔的位置進(jìn)行協(xié)助調(diào)控.調(diào)整散射核內(nèi)與核外陣列腔內(nèi)的耦合強(qiáng)度，觀察到光的反射率隨散射核內(nèi)耦合強(qiáng)度減弱而增大的特點(diǎn).在頻率失諧情況下，增大散射核的增益(耗散)率，光的反射會(huì)發(fā)生較小的增強(qiáng).

失諧對(duì)單光子反射透射行為的影響分析可以幫助我們更好地調(diào)控單光子在一維耦合腔的傳輸過(guò)程，為量子開(kāi)關(guān)的實(shí)現(xiàn)提供科學(xué)幫助.可以預(yù)見(jiàn)，當(dāng)在這個(gè)陣列中制備一個(gè)或多個(gè)原子時(shí)，體系會(huì)展示出更豐富的動(dòng)力學(xué)，以及有更廣泛的應(yīng)用.