反激變換器的輸出反饋模型預測控制仿真研究

管雪梅 吳馬超 魏艷秀 王子龍(東北林業(yè)大學機電工程學院 黑龍江 哈爾濱 150040)

0 引 言

反激變換器具有電路簡單、成本低、輸入與輸出電壓電氣隔離等優(yōu)點，廣泛用作中小功率電氣設備的供電電源。但變換器因開關管周期性的切換工作模式而表現出非線性，且負載不確定性和線路振蕩嚴重影響閉環(huán)控制器的穩(wěn)定性，當變換器處于不同靜態(tài)工作點時，一般線性模型難以解決輸出電壓穩(wěn)定性的問題[1-2]。

針對這些問題，一些研究者提出了不同的非線性控制方法，比如自適應控制、模糊控制、滑膜控制和模型預測控制[3-6]。在文獻[7]中，設計輸出電壓外環(huán)反饋和變壓器激磁電流內環(huán)反饋，使得滑膜控制器的最終控制律中存在輸出電壓誤差的積分，即使輸入電壓和負載阻抗發(fā)生變化，輸出電壓在穩(wěn)態(tài)下仍保持零穩(wěn)態(tài)誤差。文獻[8]針對負載變化較大而引起極點偏移的問題，采用閉環(huán)雙模降階預測控制算法，其仿真結果證明在電路負載變化范圍較大時依然能較快響應并保持良好的動態(tài)過程。文獻[9]設計了模型預測電壓控制方法，實時監(jiān)測輸出電壓、變壓器一次側電流和次級側電流，優(yōu)化下一步控制，提高了輸出電壓的快速響應能力和穩(wěn)健性。而文獻[10]去除電流控制環(huán)路，提出直接電壓控制的模型預測方法。同時，增加一個卡爾曼濾波器來估測Boost變換器的狀態(tài)，提供輸出電壓無偏移跟蹤，很好地解決了隨時間變化和未知的負載，保證閉環(huán)控制器的快速瞬態(tài)響應和高度的魯棒性。

基于以上理論研究，模型預測算法依靠顯示處理優(yōu)化能力很好地解決了變換器的動態(tài)性能問題。但對于Flyback型DC-DC變換器，其變壓器一次側電流難以檢測。因此，在基于雙線性模型的狀態(tài)反饋基礎上[11-12]，增加一個Luenberger-type型觀測器，設計輸出端電容器電壓調節(jié)的輸出反饋模型預測方案。其觀測器增益在保證狀態(tài)估計誤差全局收斂的情況下，外加PI控制環(huán)消除電容器電壓偏移誤差。仿真結果表明在輸入電壓變化或負載變化的情況下均能滿足控制要求。

1 雙線性模型

圖1為實際Flyback變換器分析電路圖，其中：ig(t)表示電壓源電流；vg(t)表示電壓源電壓；vL表示電感電壓；C表示電容；v(t)表示輸出電壓；iC(t)表示流經電容電流。考慮現實情況下變壓器為非理想的，理論分析時采用理想變壓器并聯一個激磁電感L代替實際變壓器，此時激磁電感的內阻RL不為零。開關導通狀態(tài)與開關截止狀態(tài)下的電路圖如圖2所示，其中：R為負載電阻；RON是開關管Q1的導通電阻；vD為二極管導通電壓。

圖1 Flyback變換器分析電路圖

在一個開關周期的(0,dTs)內，即主開關Q1導通，二極管D1截止時，狀態(tài)方程為：

(1)

在一個開關周期的dTs時刻，主開關Q1關閉，此(dTs,Ts)時間段內，狀態(tài)方程為：

(2)

式(1)和式(2)中，有i(t)=ig(t)=iL(t)，v(t)=vC(t)，則可以描述為：

(1) 開關導通，二極管截止狀態(tài):

(3)

(2) 開關截止，二極管導通狀態(tài):

(4)

其中：

結合式(3)和式(4)可以得到一個開關周期的平均狀態(tài)模型：

(u(t)Bc1+(1-u(t))Bc2)v

(5)

式中：u(t)=D∈[DminDmax]?[0 1]，常數Dmin和Dmax是占空比D的上下界包絡線。

式(5)展開得：

((Bc1-Bc2)v)u(t)+Ac2x(t)+Bc2v

(6)

令：

Gc=Ac1-Ac2Bc=(Bc1-Bc2)v

則式(6)變?yōu)椋?/p>

(7)

設采樣周期(時間)為h，將連續(xù)時間系統(tǒng)式(7)轉化為離散時間系統(tǒng)：

x(k+1)=A2(k)+(B+G(k))u(k)+B2v

(8)

此時，A2=hAc2+I,B=hBc,G=hGc,B2=hBc2。

2 狀態(tài)反饋模型預測控制器設計

基于第1節(jié)離散時間模型，給定輸出電壓參考值r，控制目標是使輸出端電容器電壓盡可能地接近參考值電壓，即：

(9)

則在系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，離散時間系統(tǒng)可以表示為：

x0=A2x0+(B+Gx0)u0+B2v

(10)

(11)

(12)

u0∈[Dmin,Dmax]

(13)

令：

則式(11)展開為：

b21vg+b22vD

(14)

b23vg+b24vD

(15)

由式(15)可以給出輸入u(k)在穩(wěn)定狀態(tài)下u0(r)：

(16)

將式(16)代入式(14)整理得：

(17)

式中：α2=(1-a21)g3+a23g1；

α1(r)=(1-a21)(b2+g4r)+a23b1+

g1((1-a24)r-b23vg-b24vD)+a23g2r+

g3(a22r+b21vg+b22vD)

α0(r)=-b1((1-a24)r-b23vg-b24vD)-

g2r((1-a24)r-b23vg-b24vD)-

(b2+g4r)(a22r+b21vg+b22vD)

式(16)可解得：

(18)

因此，x(k)的穩(wěn)定狀態(tài)為：

(19)

由式(17)可知，在u0(r)∈[Dmin,Dmax]范圍內，保證使電容器電壓盡可能地接近參考值r，使得電感器電流在穩(wěn)定狀態(tài)下存在著兩個有效的可能解。

基于穩(wěn)定狀態(tài)x0(r)，定義狀態(tài)反饋追蹤誤差ex(k)=x(k)-x0(r)，則：

ex(k+1)=A2x(k)+(B+Gx(k))u(k)+

B2v-x0(r)=

A2x(k)+(B+Gx(k))u(k)-

f(x(k),u(k)) ?k

(20)

根據式(20)得到優(yōu)化約束函數，即：

(21)

為了求解k時刻控制量，令：

?Vc(ex(k+1))/?u(k)=0

(22)

可得：

uuc(x(k))=-(TT(x(k))PcT(x(k)))-1×

TT(x(k))Pc(A2x(k)+B2v-x0(r))

(23)

式中：T表示關于x的函數表達式。

則在任意時刻控制律u(k)可以表示為：

(24)

其中：

Ac=DminhAc1+(1-Dmin)hAc2+I

Ac=DmaxhAc1+(1-Dmax)hAc2+I

則狀態(tài)反饋模型預測閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制律是全局指數穩(wěn)定。證明如下：

選擇一個李雅普諾夫函數：

(25)

則Vc(ex(k+1))=Vc(f(x(k),k(x(k)))≤

Vc(f(x(k),u0(r)))=

(26)

式中：Ac(u0(r))=u0(r)hAc1+(1-u0(r))hAc2+I。

作差分：

ΔVc(ex(k))=Vc(ex(k+1))-Vc(ex(k))≤

(27)

式(27)中，對任意k和任意ex(0)≠0，只要滿足：

(28)

則式(29)成立，意味著控制律式(24)是全局指數穩(wěn)定。

ΔV(ex(k))<0,?k,?ex(0)≠0

(29)

左右兩邊乘以矩陣：

則式(28)等價于：

(30)

與假設1的約束條件是一致的。

3 輸出反饋模型預測控制器設計

結合上節(jié)狀態(tài)反饋模型預測式(24)，通過添加一個Luenburger-type觀測器，提出一種基于電容器電壓管理的無偏移輸出反饋模型預測控制策略。圖3為輸出反饋模型預測控制原理圖，其中yref(k)表示參考電壓。

對于式(8)，電容器電壓等價于輸出電壓y(k)，因此，輸出電壓y(k)可以表示為：

y(k)=Cox(k)

(31)

式中：Co=[0,1]。

3.1 Luenberger-type觀測器設計

為了預測狀態(tài)x(k)，選取一個Luenberger-type觀測器：

(32)

(33)

則：

-(TT(x(k))PcT(x(k)))-1×

TT(x(k))Pc(A2x(k)+B2v-x0(r))

定義估測追蹤誤差：

(34)

滿足：

eo(k+1)=(A2+u(k)G-LoCo)eo(k)=

(35)

由于時變項u(k)∈[Dmin,Dmax]，對于任意k時刻，eo(k+1)是上下有界的。因此只要找到增益矩陣Lo，可以使式(35)穩(wěn)定。

證明如下：

定義李雅普諾夫函數：

(36)

作差分：

ΔVo(eo(k))=Vo(eo(k+1))-Vo(eo(k))=

(37)

如果式(38)成立：

(38)

則：

(39)

左右兩邊同乘矩陣：

則式(38)等價于：

(40)

將其改寫成：

(41)

式中：Am1=A2+DminG-LoCo；Am2=A2+DmaxG-LoCo。

即式(41)等價于假設2的約束矩陣。因此，對于ΔVo(eo(k))<0，且Vo(eo(k))是二次型，證明狀態(tài)估測動態(tài)誤差是全局指數穩(wěn)定。

3.2 閉環(huán)穩(wěn)定性分析

3.1節(jié)由假設2確保觀測動態(tài)誤差的穩(wěn)定性，分析在具有觀測誤差的情況下，輸出反饋模型預測控制律的閉環(huán)穩(wěn)定性。定義觀測器追蹤誤差：

(42)

則有：

(43)

式(43)中如果沒有補償項LoCoeo(k)，則是由狀態(tài)反饋控制器推導的閉環(huán)系統(tǒng)。因此式(43)的動態(tài)性可以理解為穩(wěn)定系統(tǒng)加上一個干擾項LoCoeo(k)。對于閉環(huán)系統(tǒng)，針對干擾項LoCoeo(k)，應用輸入到狀態(tài)穩(wěn)定概念，分析式(43)的穩(wěn)定性。

引理1如果假設1的線性矩陣不等式成立，則閉環(huán)觀測器追蹤動態(tài)誤差是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定，即：

(44)

式中：λmin(Q)表示取特征值最小值；ζ表示取標準差的無窮小值(全局最小值)。

證明：由式(36)定義的Vo(eo(k))，則閉環(huán)系統(tǒng)：

(45)

式中：σ為待定常數。

作差分：

根據假設2和引理1，可得：

(46)

因此：

(47)

根據式(47)的特性，可知輸出反饋控制器方案不僅確保電容器電壓全局收斂，而且確保存在輸入約束條件下的電感電流全局收斂。

3.3 外環(huán)PI控制器

由于所提出輸出反饋模型預測控制方法依賴轉換器參數，在實際工況下，因為存在著控制模型失配，電容器電壓在穩(wěn)定狀態(tài)下可能發(fā)生偏移誤差。為了消除偏移誤差，外環(huán)引入PI控制進行補償。假設內環(huán)控制系統(tǒng)非常快，即內環(huán)的傳遞函數為1。則可假設：

y(k)≈c(k)

(48)

c(k)為外環(huán)PI控制器輸出：

其中：r為y(k)參考值；h為采樣周期。

可得：

(49)

4 仿真驗證

為了驗證本文所設計控制器的有效性，利用MATLAB 2011b/Simulink進行如下仿真實驗。設計輸出功率為72 W、輸出電壓為36 V的反激變換器，對PID控制進行仿真，圖4為PID輸出電壓波形，可以看出：PID控制調節(jié)時間為4×10-3s，超調量達到36%，穩(wěn)態(tài)誤差為±5.5%。控制效果不能滿足高精度的要求。

圖4 PID控制時輸出電壓波形

給出Flyback型DC-DC轉換器的參數如下：L=140 uH，RL=0.01 Ω，C=470 uF，vg=110 V，vD=0.67 V，R=18 Ω，RON=0.08 Ω，n=1/3。采樣時間h=0.1 ms。最小和最大占空比設定為Dmin=0.2和Dmax=0.95，以此最大間距確保存在Pc滿足假設1中的不等式。則假設1中的Ac(Dmin)和Ac(Dmax)可以確定為：

基于矩陣Ac(Dmin)和Ac(Dmax)，確定矩陣Pc滿足假設1中不等式：

同樣地，確定u=0.98，假設2中線性不等式的Po和Yo可以給出：

則觀測器增益矩陣Lo可以確定：

對于外環(huán)控制，PI控制器的參數系數為：

KP=40KI=0.5

仿真結果如圖5-圖9所示。

(a) 輸出電壓

圖6 誤差對比

(a) 輸出電壓

從圖5可以看出：在輸入交流電壓為220 V保持不變的狀況下，系統(tǒng)空載時穩(wěn)定輸出電壓為36.04 V，輸出特性良好。當由空載瞬間加到滿載時，穩(wěn)定輸出電壓變?yōu)?5.92 V，穩(wěn)定輸出電流為2 A，此時動態(tài)響應時間為0.01 s，系統(tǒng)穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)誤差為0.22%，控制精度高。圖6給出PID控制和Flyback型DC-DC控制下的輸出電壓對比，可以明顯看出改進系統(tǒng)具有良好的抗干擾性和穩(wěn)定性。圖7給出系統(tǒng)穩(wěn)定后誤差電壓變化，可以看出，誤差電壓一直處于0.08～0.09 V范圍之內變化，誤差電壓在有限時間內收斂。圖8給出了電源輸入電壓保持不變，負載由滿載迅速卸到半載時的動態(tài)變化，可以看到在很短的時間內，輸出電壓沒有出現尖峰波形，過渡過程平穩(wěn)，且電壓變化控制在0.01 V以內，表明控制系統(tǒng)具有良好的適應性和穩(wěn)定性。圖9顯示，保持負載為滿載不變狀況下，輸入電壓上下浮動時，輸出基本穩(wěn)定不變，沒有明顯尖峰，表明系統(tǒng)具有很強的抗干擾性。

5 結 語

針對反激變換器的輸出電壓穩(wěn)定性問題，提出基于Flyback變換器研究一種輸出反饋模型預測控制器。對控制器進行了閉環(huán)穩(wěn)定性分析，并在MATLAB 2011b/Simulink環(huán)境下進行了仿真。理論分析和仿真結果表明：被控系統(tǒng)具有良好的響應曲線，實現了高精度、強魯棒性、快速性的性能，避免了系統(tǒng)過程中出現的高超調、震蕩大、響應慢、穩(wěn)定性差等缺點，說明了輸出反饋模型預測控制策略在性能上增強了系統(tǒng)的抗干擾能力，改善了控制性能。