淺談“雞兔同籠”問題的解決策略

曾家國

◆摘? 要：源于《九章算術》的雞兔同籠問題，可謂家喻戶曉。在新課程推進的今天，雞兔同籠問題出現在數學教科書“解決問題的策略”這一章節，使解法條理化、系統化，更易于學生接受、理解和應用。

◆關鍵詞：雞兔同籠;解決問題;策略

雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，出自《孫子算經》。原題為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？雞兔同籠問題可以被贊譽為數學思維的“體操”，幫助學生主動構建起解題的數學模型，有利于學生數學能力的培養。孔子曰：舉一隅不以三隅反，則不復也。雞兔同籠是典型而有趣的數學問題，曾經是僅作為課外拓展內容，現在已經作為小學生必須掌握的知識，進入小學數學教材，并且在小學低、中、高各年段都會遇到此類問題。從解決的角度而言，可以有一系列的方法，比如畫圖法、列表法、假設法方程法以及抬腿法等。雞兔同籠問題，也蘊含著豐富的數學思想方法，比如劃歸的思想，枚舉的思想，數形結合的思想，假設的思想，方程的思想以及建模的思想等。在我們的教學實踐中，教師的不同定位就帶來了不同教學設計的可能性，定位于不同的解題方法不是隨意的，而應該將解法的難度與學生的認知水平結合起來考慮。

一、小學低段學生如何解決雞兔同籠問題

在小學階段，低段（一二年級）的孩子活潑天真，他們對于數學學習尚處于啟蒙階段。我們需要做的，不是教會學生解決問題的策略、解決問題的技巧，而是要如何激發他們學習數學的興趣，以此保護他們的求知欲，讓其感受數學的趣味性，讓他們感知數學不是枯燥的，而是非常好玩的。這才是低段教學“雞兔同籠”問題的側重點。教學時，我們可以這樣做：把那道經典題的數字“小”化：已知共有雞和兔10只，共有28只腳，問雞和兔各有幾只？教學中，我們首先可以用故事的形式引人，再引領學生找出題目中隱含的條件（兔子有4條腿，雞有2條腿）。然后啟發學生;利用畫圖的方式來表達自己的想法，可以提示學生用Ο和[ΙΙ]分別表示頭和腿，讓其感受數形結合的數學思想。先畫10個頭，雞免最少也有2條腿，就先給每個頭畫兩只腳，共20條，還剩8條，再每個頭加2條，可以加4個頭，畫完后，再讓學生數一數：4條腿的是兔，2條腿的是雞，各有多少，便一目了然。

除此之外，我們也可向學生介紹古人發明的抬腿法：假設雞和兔訓練有素，吹一聲哨，抬起一條腿，剩下28-10=18條腿。再吹哨，又抬起一條，還剩18-10=8條，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有8+2=4只，雞有10- 4=6只。讓學生參與到真正的實踐操作中，體會數學真是有趣好玩！

二、小學中段學生如何解決雞兔同籠問題

到中段后（三四年級），學生對數學知識已經有了一定的積累和了解，在學習方法上也增加了更多接受的可能性。對他們而言，能夠用自己的方式挑戰一個難題，其成功的自豪感將無以言表。所以，讓這一階段的學生在自主學習的過程中對列表法進行學習和優化，應是我們該重點關注的。此時，我們可以直接用《孫子算經》的原題引入：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？甚至還可以把數字變大，讓學生自行探雞索，為什么要將數字變大呢？數字的大化可以迫使他們去尋找新的方法、規律，去化繁為簡，化難為易。在已有畫圖方法的基礎感受在數字大的情況畫圖方法的不適用。于是出現列表枚舉。下面我將以上面小化過的例題為例。

在此方法中，學生會感受到它的繁瑣，但在這里使用列表法的重點還在于發現其規律（每增加一只雞就減少一只兔，腿也就減少2條），由此他們可以將逐一優化為跳躍列表法或取中列表法。讓學生在實踐操作的過程中先進行有序思考，完整列表，再進行表格優化，從而理解優化表格的作用和意義，實現跳躍性思考。在此過程中充分感受數學邏輯的嚴密性和推理性。在使用列表法時，我們不僅僅只停留在找出答案即止，要懂得回顧兔增加雞減少及腿數的變化規律，即發現增加1只雞就減少2條腿，那要減少多少條腿才是28條呢？40-28=12（條），而12條腿則需要增加多少只雞呢？12÷2=6（只），所以雞有6只。這不這是假設法嗎？反之，我們從表格右邊往左邊看，則相當于先假設全是雞，有10×2=20條腿，每增加1只兔就增加2條腿，總共需要增加28 -20=8條腿，8÷2=4（只），所以兔有4只。學生在使用列表法可能會顯得繁瑣，但它卻是假設法的過渡，學生能在枚舉與假設中充分感受到數形結合的形象性、便捷性，感受數學的魅力和趣味。

三、小學高段學生如何解決雞兔同籠問題

高段（五六年級）的學生在數學學習上已經接觸了不少的數學模型和數學思想。雞兔同籠的知識對他們來說已經不再陌生和新奇。這時在讓學生用畫圖法和假設法解題后，可以要求學生用方程進行解題。根據“雞+兔=10只”和“雞腿數+兔腿數=28條”兩個數量關系，于是可以列出如下方程：

解：設雞有X只，免有（10-X）只。

2X+4（10-X）=28

在高段學生的教學中，我們需要做的不再是針對一道兩道題的具體講解，而是應幫助學生進行梳理和總結，歸納畫圖法，列表法，假設法，方程法以及抬腿法之間的內在聯系，讓學生建立起雞兔同籠問題的數學模型，并在利用模型解決同類問題的過程中得到新的啟示和收獲，學會用數學的思維解決生活遇到的問題，真正達到學以致用的目的。

看似復雜的題目解答起來卻是如此地巧妙，這就是神奇的數學。葉圣陶曾說：“教師之主導作用，益在于善于引導啟迪，俾學生自奮其力，自致其知，非為教師之滔滔講說，學生默默聆聽。”“學無定法”，教師在教學中應該關注于對學生的學習方法的考量，讓學生自己去探尋數學知識間的聯系才是教學之道。解決數學問題有時并沒有固定的解題模式可以套用，唯有切實培養學生的數學能力，能夠將已學的數學知識“舉一反三”甚至于“舉一反百”，做到數學知識之間的融會貫通，活學活用，這才是學之道的真諦。

參考文獻

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