一道六校聯(lián)考解析幾何試題的解法探究

摘?要：通過對2020年1月4日六校聯(lián)考數(shù)學(xué)第20題解法探究，探究其規(guī)律，并適當(dāng)拓展，充分挖掘題目本質(zhì)原理，得到了一般性結(jié)論，并深化條件給出了一些優(yōu)美的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：2020年1月4日六校聯(lián)考;解析幾何;一般性結(jié)論;優(yōu)美性質(zhì)

六省六所全國重點中學(xué)聯(lián)考，簡稱六校聯(lián)考。是由六校輪流命題，考試涉及面廣，影響力大，歷來受到大家的高度重視。2020屆高三第一次六校聯(lián)考于2020年1月4日～1月5日進行，其中解析幾何試題位于第20題的關(guān)鍵位置，題目形式上，一證一算，聚焦數(shù)學(xué)運算及邏輯推理核心素養(yǎng)，考察學(xué)生縝密的邏輯思維和運算求解能力。題目的設(shè)問形式簡潔，結(jié)論優(yōu)美，并且通過探究還能得到一些拓展性結(jié)論和性質(zhì)，本文基于此展開筆者的探究過程，供大家參考。

一、 題目與解答

評注：第（Ⅰ）問和第（Ⅱ）問之間有一定的關(guān)聯(lián)性，第（Ⅰ）問的證明為第（Ⅱ）問的計算做了鋪墊，但都屬于過橢圓內(nèi)一點互相垂直兩弦的特例。因此，一方面我們從問題的結(jié)論思考：1. 過橢圓焦點且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓相交的弦中點與原點連線的直線與相應(yīng)準(zhǔn)線交于一點，該點與焦點的連線與過焦點的直線是否垂直？2. 若垂直，在此垂直的條件下，相應(yīng)的線段長度比的最大值是否為常量？是否還有其他的定點、定值？若以上猜想結(jié)論成立，那么將過焦點的直線改為過橢圓內(nèi)任意一點的直線，那么是否還有相應(yīng)的結(jié)論？另一方面我們從求解過程思考：重視通性通法的同時，注意焦半徑、參數(shù)方程、極坐標(biāo)等技巧的引入，對于研究定點、定值等一些一般性結(jié)論有很大的方便性。

二、 條件關(guān)系的深化拓展

延長MF交橢圓G于C，D兩點，則AB⊥CD，設(shè)CD的中點為P。下面在AB⊥CD的基礎(chǔ)上進一步探究其一些優(yōu)美的結(jié)論。

結(jié)論1：直線PN過定點S。

證明：設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由原題求解過程知：

三、 結(jié)論的一般性拓展

將該題中的一些條件推廣到一般的橢圓，結(jié)論仍然成立，具體如下：

四、 探究后的思考

通過對樣例深入研究，探究其規(guī)律，并適當(dāng)拓展，充分挖掘題目本質(zhì)原理，得到了一般性結(jié)論。當(dāng)然，圓錐曲線還有很多統(tǒng)一或相似的性質(zhì)，這些優(yōu)美的性質(zhì)深刻反映了數(shù)學(xué)的獨特魅力，值得我們?nèi)ふ摇l(fā)現(xiàn)和欣賞。

因此，在平日里的教學(xué)過程中通過這樣的探究活動，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究問題引向深入，挖掘題目的真正內(nèi)涵，才能夠找到解決這一類問題的規(guī)律，才能領(lǐng)會到試題命制的深刻背景。通過引導(dǎo)學(xué)生進行分析、類比、猜想、證明，學(xué)生就能體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，這樣就可以深化學(xué)生的思維。讓學(xué)生體驗通過改變試題條件的探究過程，能夠加深對問題的思考、理解和針對問題本質(zhì)的透析，達到加深對知識的理解，才能跳出茫茫題海，提高學(xué)習(xí)效率;才能全面提高學(xué)生的綜合能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]六校聯(lián)考：衡水中學(xué)，山西大學(xué)附屬中學(xué)，西工大附中，鄭州外國語學(xué)校，巴蜀中學(xué)，成都七中六校于2020年1月4日至1月5日進行聯(lián)考.

[2]尹惠民.試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（2）：26-27.

作者簡介：

劉雷，陜西省西安市，西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)。