若干delta勢的薛定諤方程的傅里葉變換求解

熊路淋，譚 鑫，羅 光

(重慶師范大學 物理與電子工程學院,重慶 401331)

delta函數是一類重要函數，該函數描述的勢在量子力學中也是一個非常重要的勢.delta函數對應薛定諤方程的求解方法的討論和研究也一直是學界的熱門，而且求解一般僅涉及由于涉及單或者雙delta勢[1-3]，討論多delta勢問題則相對較少.delta勢約束下的薛定諤方程由于涉及分段問題以及相應的銜接條件，求解過程并不簡單.特別是勢的個數多時，薛定諤方程的求解過程更加繁瑣[4-6].

針對量子力學中的傅里葉變換的討論，一般在涉及坐標空間表象和動量空間表象中的關系時才給出.實際上傅里葉變換本身是一種比較有效的求解薛定諤方程的方法.但是由于傅里葉變換的條件較為苛刻，通過查閱傅里葉變換表[7-9]可知滿足傅里葉變換的函數不多，因此在量子力學中用傅里葉變換法求解的實例不多，甚至并未真正提出這樣一個求解方法[10-13].對于涉及雙delta勢阱、三delta勢阱甚至n個delta勢阱(即梳狀delta勢阱)的薛定諤方程，如果采用傅里葉變換法來求解，則求解過程將會變得相當簡便.

本文研究基于傅里葉變換法求解若干delta勢阱作用下定態薛定諤方程.

1 單delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

勢V(x)約束下的定態薛定諤方程[3]為

(1)

當V(x)為delta勢時，有

V(x)=-γδ(x)

(2)

這種情況下，薛定諤方程的常規求解一般需要從x≠0和x=0兩種情況出發，得出對應的通解形式，然后利用|x|→∞時的邊界條件以及x=0處的銜接條件，以確定相關的常數，最后得出特解和能級形式.但是如果采用傅里葉變換法求解，上述繁瑣過程就可以大大簡化.

(3)

(4)

對式(4)作傅里葉逆變換，可以從以下3種情況進行分析

1)E>0：對式(4)兩邊作傅里葉逆變換，有

(5)

由于奇偶函數的傅里葉變換將保持函數的奇偶性的特點[14]，式(5)得出的把函數也應該滿足奇偶性，即φ(-x)=φ(x)，故當x>0時

(6)

當x<0時

(7)

因此傅里葉逆變換結果為

(8)

進而得φ(0)=0，與前文矛盾，因此需舍去.

2)E=0：式(4)傅里葉逆變換表達式為

(9)

兩邊對x求導得

(10)

(11)

進而得

(12)

所以依然需要考慮保持被變換函數的偶函數性質φ(-x)=φ(x)，因此

(13)

由于φ(x)有限要求φ(0)=0，與前文矛盾，因此需舍去.綜合1)和2)，下文就不再討論E≥0，僅僅討論E<0的情況.

3)E<0：式(4)傅里葉逆變換結果為[9]

(14)

圖1 單delta勢約束下的波函數示意圖

2 雙delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

當V(x)為雙delta勢時，有

V(x)=-γ1δ(x+a1)-γ2δ(x-a2)

(15)

(16)

(17)

僅考慮E<0，對上式作傅里葉逆變換，結果為[9]

(18)

由于雙delta勢關于縱軸對稱，方程(1)的解一般是具有宇稱性.

(19)

(20)

這樣波函數可以最終確定出來，示意圖如圖2(a)所示.

圖2 雙delta勢約束下的波函數示意圖

(21)

這樣波函數可以最終確定出來，示意圖如圖2(b)所示.

3 三delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

當V(x)為三delta勢時，有

V(x)=-γδ(x+a)-γδ(x)-γδ(x-a)

(22)

對相應的薛定諤方程做傅里葉變換可得

(23)

僅考慮φ(-a)eiwa+φ(0)+φ(a)e-iwa≠0且E<0，有

(24)

對上式作傅里葉逆變換，結果為[9]

(25)

利用波函數在x=-a、0、a處的取值以及歸一化條件可以確定系數φ(-a)、φ(0)、φ(a)及E的取值.由式(25)，也可以畫出具有奇偶宇稱性的波函數的示意圖如圖3所示.

圖3 三delta勢約束下的波函數示意圖

4 奇數(2n+1)個delta勢約束下方程的求解

當V(x)為delta勢時

(26)

對三delta勢阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換，得

(27)

(28)

依然考慮E<0的情況，作傅里葉逆變換，結果為[9]

(29)

利用x=ja處波函數特殊性及歸一化條件：

(i=-n,-n+1,…,n)

(30)

(31)

可以定出能量E和φ(ja)，最終可以確定出波函數.由(式29)，也可以畫出具有奇偶宇稱性的波函數(這里選擇n=3時)的示意圖如圖4所示.

圖4 7個delta勢約束下的波函數示意圖

5 偶數(2n)個delta勢約束下方程求解

當V(x)為delta勢時，有

(32)

對三delta勢阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換，得

(33)

(34)

依然考慮E<0的情況，作傅里葉逆變換，結果為[9]

(35)

(36)

(37)

圖5 8個delta勢約束下的波函數示意圖

5 結論

雖然基于傅里葉變換法的薛定諤方程的求解在量子力學中不多見，但這的確是一種簡捷有效的方法.從本文討論的具有若干delta勢阱約束下的薛定諤方程的傅里葉變換法求解過程可以看出這一點.