旋轉紙牌軌跡的近似理論計算

朱世棟，黎秋航，侯吉旋，陳 乾

(1.東南大學 物理學院，江蘇 南京211189；2.東南大學 交通學院，江蘇 南京 211189)

在2020年國際青年物理學家錦標賽(IYPT2020)的第17題中描述了一個生活現象，題目的中文翻譯如下：“一張標準的撲克牌只要在投擲的過程中旋轉，就可以運動很長的一段距離.研究影響距離和軌跡的參數”.定性來看，紙牌旋轉后飛行會更加穩定，可以保證薄邊始終正對運動方向，迎風面積的減小會導致正面空氣阻力的減小，而下表面受到向上的空氣阻力會導致下落時間的延長，兩相疊加，致使運動距離的增大.其中，旋轉紙牌飛行的穩定性可以用剛體的歐拉公式來解釋[1].

要分析紙牌的軌跡，就無法避免對紙牌表面氣體流動的研究.對于一般意義的平板繞流問題，已經有眾多學者進行了理論研究和數值模擬，姜海波等人[2]更是為大攻角的氣體繞流問題提供了解決方案，以適應低速情況.然而，對于旋轉中的紙牌，其周圍的氣體流動比平動情況要復雜得多.目前對于旋轉剛體在空氣中運動的研究還很少，王一坤等人[3]運用空氣動力學分析了竹蜻蜓的飛行過程，田愛平等人[4]更是發現了竹蜻蜓飛行過程的進動現象.然而，竹蜻蜓的轉動與紙牌的轉動有著本質的區別，竹蜻蜓通過兩個交錯的槳葉產生升力，而紙牌表面各點始終在一個平面.本文試通過建立簡單的紙牌模型，對旋轉紙牌的運動進行探究.

1 理論模型

設紙牌為剛體，不會發生彎折等形變.再設紙牌的本征坐標系為Cxyz，地面坐標系為OXYZ，如圖1所示.設紙牌質量為m，長為a，寬為b，厚度為h，空氣密度為ρ，空氣阻力系數為k，黏度為η，紙牌的初速度為v0、角速度為ω0，運動過程中紙牌轉角為θ.紙牌受力包括：重力；下表面空氣阻力(升力)；上下表面黏滯阻力；馬格努斯力；邊緣空氣阻力.這里已忽略紙牌邊緣的黏滯阻力.本節將定量求解出各力大小，以便軌跡的計算.

圖1 紙牌模型圖

1.1 上下表面黏滯阻力

設黏滯阻力與相對速度的一次方成正比[5]，則任意面元的黏滯阻力可按照速度方向進行分解.面元的速度由質心速度與相對質心的旋轉速度構成，不妨將黏滯阻力沿這兩個方向進行分解.

如圖2所示，Ffv為與質心平動速度有關的黏滯力，宏觀不產生力矩；Ffω與繞質心轉動速度有關的黏滯力，宏觀只產生力矩；r為面元P到質心C的距離.

圖2 黏滯阻力分析圖

黏滯力與力矩通過簡單積分可得：

(1)

1.2 馬格努斯力

馬格努斯力是由紙牌邊緣氣體流動導致的壓力差所形成.忽略紙牌邊緣的黏滯阻力，可近似滿足“定常流、無摩擦流、不可壓縮流”條件，故可近似使用伯努利方程.

如圖3所示，P1面元在Cxyz坐標系中的坐標為(b/2，y)，P2坐標為(-b/2，-y)，P3為(b/2，-y)，P4為(-b/2，y).P1與P2關于原點對稱，與P3關于x軸對稱，與P4關于y軸對稱.設質心沿X方向的速度大小為vX，沿Y方向的速度大小為vY.P1、P2、P3、P4的速度均由質心速度與繞質心旋轉的速度合成而來，其分速度都標于圖3中.

圖3 側面元速度分析圖

對側面元P1、P2，其平行于側邊的速度為：

(2)

由伯努利方程可得沿x方向的壓強差：

(3)

對長邊積分可得x方向的馬格努斯力：

Fx=-ρωabh(vXsinθ+vYcosθ)

(4)

同理對短邊計算壓力差，可得y方向的馬格努斯力：

Fy=ρωabh(vXcosθ-vYsinθ)

(5)

合成到X、Y方向：

(6)

很容易發現任意關于x軸對稱的面元(如P1、P3)受到的壓力相等，因此馬格努斯力不產生力矩.

1.3 邊緣空氣阻力

先研究長邊上的空氣阻力.只有當側面元有沿外法線方向的速度時，才能產生空氣阻力.

如圖3所示，不難發現，關于y軸對稱的側面元(如P1、P4)垂直邊緣的速度相同.當y>0，x>0時，側面元速度沿外法向，有阻力；當y>0，x<0時，側面元速度沿內法向，無阻力.但是，y<0的情況較復雜，面元速度方向不僅取決于y坐標，還與vX、vY、ω、θ有關.為避免復雜的分類討論，我們取長時間的平均(即忽略旋轉)：

(7)

這里假設了空氣阻力與迎風速度的二次方成正比(實為平板繞流的結論)[6].而阻力矩為周期性變化，平均后為0.

2 進動現象

2.1 紙牌進動及其原因

在嘗試不同初始條件進行實驗的過程中，可以發現，當紙牌運動時間較長時，會發生明顯的豎起，且紙牌薄邊能始終正對運動方向.設角動量為L，由現象知，L會在垂直于速度方向的平面內轉動，即紙牌在進動.此進動對紙牌軌跡有重要影響.

為探求紙牌進動的原因，需要尋找合適的力矩.在紙牌水平時尋找，由于紙牌上下的對稱性，顯然沒有合適力矩能夠使其發生進動.因此可假設，紙牌在空中受到微擾產生初始進動角速度，此角速度會產生力矩促生進一步的進動.

經過不斷的嘗試，可排除：邊緣空氣阻力(無法產生力矩)；馬格努斯力(無法產生力矩)；上下表面粘滯阻力(上下對稱性使合力矩為0).唯一可能產生有效力矩的是只有下表面存在的空氣阻力.如圖4所示，建立CX’Y’Z’坐標系，其中X’軸指向水平速度方向，則進動應發生在CY’Z’平面內.設進動角速度為Ω=(-Ω0 0)(在CX’Y’Z’坐標系下)，進動角為φ.下面進行定量計算.

圖4 紙牌進動的原因

已知本征坐標系Cxyz與運動坐標系CX’Y’Z’的轉換關系：

(8)

(9)

其中i、j、k為Cxyz坐標系的單位矢量，i’、j’、k’為CX’Y’Z’坐標系的單位矢量.因此，對于坐標為(x，y，z)的面元，轉換到CX’Y’Z’坐標系后的坐標為

(X′Y′Z′)=(xyz)

(10)

進而可得CX’Y’Z’坐標系下面元的進動速度：

(11)

換回Cxyz坐標系：

(12)

只取z分量，代入化簡得

vΩ⊥=Ω(xsinθ-ycosθ)

(13)

故面元垂直表面的合速度為

v⊥=-vZ′cosφ+Ω(xsinθ-ycosθ)

(14)

此處已利用vY′≡0的運動坐標系特征.而此微元受到的空氣阻力為

(15)

空氣阻力對質心的力矩為

=(ydFf-xdFf0)

(16)

此力矩換到CX’Y’Z’坐標系：

dM′=(ydFf-xdFf0)

(17)

由式(15)(17)，對紙牌平面積分即得總力矩：

(18)

對式(18)進行分析.MX’不為0，說明紙牌應有X’方向的進動，但現象中進動只發生在CY’Z’平面，這可以用歐拉方程解出的旋轉穩定性解釋[1].

因此，我們忽略了X’方向的進動，將重點放在Y’,Z’方向上.會發現一個十分漂亮的結果.令

則由式(18)得

(19)

發現產生進動的合力矩恰好與角動量方向垂直，如圖5所示.正是這力矩使角動量L在CY’Z’平面內轉動.

圖5 合力矩方向與角動量方向

2.2 運動方程

此進動對紙牌軌跡的影響顯著.定性來看，一方面，由于紙牌的立起，沿Z’方向的阻力分量減少，導致飛行時間的縮短.另一方面，由于紙牌的立起，沿X’負方向、Y’方向的阻力分量增加，導致紙牌發生明顯的側飛.定量來看，需要求解紙牌的運動方程.

首先利用角動量定理求解進動角.

(20)

不難發現，式(20)解出的是一個與Ω無關的恒等式，通過此等式可以發現一些有趣的規律，但與本文研究無關暫不予討論.等式與Ω無關，可視為初始進動角速度Ω0確定后，產生的力矩將與Ω保持平衡，不會再使其發生改變.即

Ω=Ω0

(21)

知曉了紙牌的進動規律，就可以求解下表面空氣阻力在3個方向的分量，從而求解運動方程.由(15)式積分，再轉換到OXYZ坐標得

(22)

其中

此處已利用vZ’=vZ.比較各力大小：忽略a、b等共有項，黏滯阻力中含有黏度η，為10-5數量級[7]，馬格努斯力與邊緣阻力均含有紙牌厚度項h，均為10-4數量級.因此，相比下表面空氣阻力，其它力對紙牌運動的影響微乎其微，可以忽略.于是動力學方程為

(23)

結合式(22)即可求解出X(t)、Y(t)、Z(t).

2.3 參數分析

式(23)表示的動力學方程較復雜，因此無法求出運動方程的解析解，但可以通過數值解進行參數分析，得出紙牌運動的一些規律.不同參數下X(t)、Y(t)、Z(t)的數值解如圖6所示.

圖6 可能參數下的運動軌跡

其中，圖6中的(a)圖為初速度大小v0不同時的情況.可以發現，v0較小時，不僅X方向的運動較慢，Y方向速度也較小，甚至會出現回旋的情況，而初速度大小對Z方向的運動沒有影響.(b)圖為角速度大小ω不同時的情況，不難發現，只要ω足夠大，足以保持紙牌旋轉穩定，則ω的變化對運動沒有影響.(c)圖為紙牌質量m變化時的情況，可以發現，m越大，X方向運動占比越多，Z方向下落得越快，即紙牌受到氣流的影響越小，這與常識相符.圖(d)為紙牌尺寸不同時的情況，其中小尺寸Mini Size(3.7 cm×6.0 cm)、橋牌尺寸Bridge Size(5.7 cm×8.7 cm)、撲克尺寸Poker Size(6.3 cm×8.8 cm)為市面常見的尺寸，可以發現，尺寸越小，X方向運動占比越多，Z方向下落越快，即紙牌受空氣影響越小，這與常識相符.

實際上，進動角速度大小Ω也是影響運動的重要因素，但它是ω、v0等多變量的函數，具體關系需要對繞流情況更精確的建模.本文將其認為是不變的常量，其值可以由實驗測得.

3 實驗驗證

本節設計了實驗對真實紙牌軌跡進行了分析，并在一定程度上驗證了前文的運動規律.手動扔紙牌無法對其初速度、初角速度等進行控制，因此本文自主設計了一個紙牌發射器，如圖7所示.

圖7 紙牌發射器示意圖

此發射器以兩個可正反雙向轉的飛輪為主體，兩邊各六檔可調.其中，A為檔位調節器，用于控制飛輪轉向和轉速，B為發動機，C為飛輪，用于傳動的，D為齒輪，E是放置紙牌的平臺，F是可活動支撐軸，通過改變飛輪與平臺的距離，可以控制飛輪給予紙牌的壓力.此裝置的優點：1)相同條件的可重復性.通過在相同檔位發射紙牌，可以很大程度上保證紙牌出射狀態相同；2)紙牌水平出射.兩個飛輪的對稱設計可以保證紙牌不會因一邊受壓而翹起，從而保證水平出射；3)初速度與初角速度不會產生一一對應關系，方便后續的控制變量研究.

通過物理影像分析軟件Tracker，可以測出紙牌發射的初速度、初角速度與進動角速度.利用側視與俯視的拍攝，可以擬合出X、Y、Z方向的軌跡方程.通過選取多組條件進行實驗，并與理論進行了對比.選出有代表性的一組如圖8所示.

其中阻力系數k是通過靜止釋放紙牌測量落地時間得到的.可以發現，實驗與理論的契合程度較高.但嘗試過多組條件后，可以發現實驗中X方向的運動占比均比理論要高，下落速度也均比理論要快，即空氣的影響并沒有預想中的那么大.這一方面可能來源于物理影像分析軟件Tracker視差等實驗誤差，另一方面可能是我們的模型還可以進一步完善.

X、Y、Z軸方向上運動軌跡的理論與實驗對比

4 總結與討論

本文在假設紙牌穩定旋轉的前提下，利用平板繞流和剛體動力學規律，近似計算了一個紙牌的運動軌跡，并通過參數分析得到了紙牌運動的一些規律.可以發現，影響紙牌運動的主要力是下表面的空氣阻力，它一方面導致了紙牌的進動，一方面通過進動產生了3個方向的分力.本文進而利用自主設計的紙牌發射器，在一定程度上驗證了理論，具有較高契合度.事實上，旋轉紙牌周圍的空氣流動比平動情況的平板繞流要復雜，進動過程也不能簡單地用空氣阻力來解釋.更完善的模型需要更深刻的空氣動力學理論進行指導，這有賴于后續研究.