障板表面圓環陣頻率不變響應波束形成方法研究

張英豪， 汪勇， 楊益新

(西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710072)

在聲吶、雷達、通信以及語音工程等領域常常需要利用傳感器陣列接收寬帶目標信號，并利用波束形成技術以達到抑制噪聲和干擾、提高輸出信噪比、改善方位估計精度等目的。在應用常規波束形成方法處理接收到的寬帶信號時，常常會造成信號畸變，且指向性較小。針對這個問題，超指向性頻率不變響應波束形成方法能夠在寬帶范圍提高指向性[1-4]，且可保證在一定頻率范圍內保證信號無失真。在實際應用中，常常把圓環陣安裝固定在某些水下平臺上，而平臺產生的散射聲場會使陣元處接收聲場發生畸變，進而影響波束方法的性能。

近年來，很多學者研究了障板條件下基陣波束形成方法和性能分析。針對剛性圓球表面的球形傳感器陣列，Elko等[5]提出了相位模態域波束形成方法，利用陣型的對稱性，將入射聲場進行正交分解，得到正交的球諧波分量，然后乘以相應的系數，獲得所需要的指向性。鄢社鋒等[6-7]提出了多約束優化方法，可以在不同的性能指標之間合理折中，進而獲得想要的波束。Rafael[8]提出的相位模態域波束形成方法也可以在性能指標間進行折中。此外，對于彈性圓柱表面圓環陣；Zou等[9]利用相位模態理論研究了此時圓環形矢量水聽器陣列的方位估計方法；楊德森等[10]也在相位模態域對柱形彈性障板表面圓環形矢量水聽器陣列的方位估計性能進行了研究，并給出了實驗結果；汪勇等[11]利用噪聲協方差矩陣的循環矩陣特性，最小化期望波束和合成波束的均分誤差，得到了合成寬帶頻率不變響應波束各個頻率下的權值向量，進而獲得合成頻率不變響應波束。

考慮障板對波束方法性能的影響，Daigle等[12]對剛性和阻抗性球體及無限長柱體表面圓環陣的常規方法進行了深入研究，結果表明散射界面可以改善常規方法的性能；Bertilone等[13]求解了無限長剛性柱形障板影響下幾種類型的噪聲互譜矩陣，并將其應用于MVDR波束形成器中，同時對其性能進行了分析。然而這些工作只針對常規和 MVDR波束形成器，沒有給出障板影響下圓環陣的穩健超指向性方法下的性能變化。

本文主要研究圓環陣安裝在不同圓柱表面時頻率不變響應波束方法的性能變化。首先考慮聲透明和剛性圓柱障板下的頻率不變響應波束形成，并對獲得的仿真結果進行分析。實際中，只有當界面材料的聲特性阻抗遠大于介質聲特性阻抗時，剛性假設才能近似成立，而這雖在空氣中容易做到，但在水下則不易滿足。因此本文構建了彈性雙層圓柱障板聲場模型，并給出相應的散射聲場仿真結果，進而獲得圓柱障板在不同材質和厚度時的頻率不變響應波束，并分析不同情況下的性能變化。

1 信號模型

考慮如圖1所示半徑為a的無限長聲透明圓柱表面M元圓環陣，陣元均為無指向性傳感器，且θm=90°。單位幅度平面波從方向(θ,φ)入射，基于聲散射理論，圓環陣第m號傳感器接收到的聲壓：

pm(θ,φ)=eika sin θ cos(φ-φm)

(1)

圖1 圓環陣示意Fig.1 Circular array

式(1)可展開為：

(2)

式中：φm=mβ,β=2π/M,bn=inJn(krm)；rm是m號陣元到圓心間距；Jn是第n階柱形Bessel函數。

當圓環陣位于無限長剛性圓柱表面時有：

(3)

波束響應是指波束形成器對某方位入射單位功率平面波信號的響應，表達式為[14]：

B(θ,φ)=wH(θ0,φ0)P(θ,φ)=
ωH(θ0,φ0)E(θ,φ)

(4)

式中：w(θ,φ)是陣元域權值向量;E是變換后的新陣列流形向量且E=CP，ω(θ,φ)是變換后的新權值向量，有：

w=CHω，

式中：

C=[v0…vm…vM-1]H

vm=M-1/2[1eimβ…ei(M-1)mβ]T

指向性因子(DF)可用來描述陣列對空間各向同性均勻噪聲的抑制能力，可表示為：

(5)

且指向性指數DI=10lg(DF)，其中R是二維各向同性均勻噪聲場的歸一化噪聲互譜矩陣，其元素為：

ρmm′=J0(2πdmm′/λ)

(6)

Λ=CRCH=diag(λ0,λ1,…λM-1)

(7)

白噪聲增益(WNG)可以用來衡量波束形成方法的穩健性，其定義為：

WNG=‖w‖-2=‖ω‖-2

(8)

2 合成波束權值向量

在二維各向同性均勻噪聲場時，僅考慮水平范圍內的性能水平，俯仰角為90°，此時期望波束可以表示為：

(9)

式中：

Pd=[e-iN(φ-φ0)…1…eiN(φ-φ0)]T

a=[a-N…a0…aN]T

N是選取的最大階數，為正整數。

通過最小化合成波束與期望波束之間的均方誤差，可推導獲得合成波束所需權值向量元素，合理選取最大階數N，當N

(10)

不顯示的值取零。

3 彈性雙層介質圓柱聲場模型

在實際應用中，圓環陣經常安裝在金屬制球體或柱體表面。在空氣中時，障板剛性假設容易滿足(金屬的聲特性阻抗一般遠大于空氣特性阻抗)，然而在水下，剛性假設很難成立。而且當傳感器固定在障板外時，其位置很容易發生改變，因此可考慮如圖2所示的彈性柱形障板結構。

圖2 具有覆蓋層的柱體表面圓環陣俯視圖Fig.2 Circular array on the surface of cylinder with covering layer

該彈性柱體由內外2個覆蓋層組成。外層材料是粘彈性的，一般是橡膠之類，可以固定傳感器；內層材料是彈性的，一般是金屬質地；內腔中介質為空氣。此時對于傳感器距圓心的距離大小近似等于圓柱的外徑長度Rc。

考慮平面波入射在圖2所示的雙層介質圓柱體上的情況。圓柱體垂直放置在圓柱坐標系的原點，整體沒入水中，用ρ和c分別表示水的密度和水中的聲速。半徑為Rc的外覆蓋層由密度為ρc的粘彈性材料制成，其彈性和粘性Lamé常數分別為λe2、μe2、λv2、μv2。圓柱框架由半徑為Rb密度為ρb彈性Lamé常數為λe3、μe3的彈性材料制成。半徑為Ra的圓筒內腔充滿了密度為ρair和聲速為cair的空氣。

由彈性體散射的相關理論可得，柱體表面圓環陣的第m號陣元接收到的平面波信號仍如式(2)所示，此時的bn表達式發生了改變，有[15]：

(11)

式(11)中Fn,1是向量的第1個元素：

F=[Fn,1Fn,2…Fn,10]T

(12)

且有：

GF=A

(13)

式中G和A的元素由文獻[15]給出

聲場中任意點位置散射聲壓為：

(14)

彈性圓柱參數如表2所示，材質選取為不銹鋼，有：Rc=0.5 m,Rb=0.40 m,Ra=0.35 m。

圓柱障板周圍散射聲場如圖3所示。圓柱半徑有a=0.5 m，4幅圖分別表示不同障板和頻率條件下的散射聲場，圖(a)、(b)為ka=2時，剛性圓柱和彈性圓柱周圍散射場，圖(c)、(d)為ka=4時，剛性圓柱和彈性圓柱周圍散射場。由圖3(a)和(b) 可得，低頻時，剛性障板和彈性障板周圍散射場大致相同。由圖4(c)和(d) 可得，在高頻時，剛性障板和彈性障板周圍散射場是有著出入的，水下雙層彈性圓柱不能近似看作是剛性的。

圖3 圓柱表面散射場Fig.3 Plot of the scattering field for cylinder

4 不同圓柱障板表面圓環陣頻率不變響應波束形成性能分析

以12元均勻圓環陣為例進行仿真，考慮聲透明、剛性圓柱和彈性圓柱障板3種情況。

期望權值向量和期望波束如表1和圖4所示。

表1 望波束的權值向量Table 1 Weight vector of desired beampatterns

對于圓柱障板表面圓環陣，歸一化噪聲互譜矩陣的元素為[12]：

(15)

本文仿真所研究的彈性雙層圓柱界面材料參數如表2所示，界面尺寸半徑與第3小節彈性圓柱相同，且材質為不銹鋼。由式(10)可得聲透明圓柱、剛性圓柱和彈性圓柱表面圓環陣合成波束權值向量，進而獲得寬帶合成波束，如圖5、6、7所示。

表2 彈性圓柱相關參數Table 2 Relevant parameters of elastic cylinder

圖4 期望波束Fig.4 Desired beampattern

圖5 聲透明圓柱表面圓環陣寬帶合成波束Fig.5 Broadband synthetic beampattern of acoustic transparent circular array

圖6 剛性圓柱表面圓環陣寬帶合成波束Fig.6 Broadband synthetic beampattern of circular array on rigid cylindrical surface

圖7 彈性圓柱表面圓環陣寬帶合成波束Fig.7 Broadband synthetic beampattern of circular array on elastic cylindrical surface

由圖5～8和圖9可知，不同圓柱障板表面圓環陣所得到的波束均有較好的頻率不變性。由圖8可知，頻率越低，穩健性越差，而聲透明圓環陣在較高頻率范圍內，白噪聲增益具有很多零點，當剛性圓柱障板或者彈性圓柱障板存在時可以解決零點存在問題。相較聲透明圓環陣，彈性雙層障板與剛性障板在給定頻率范圍內均可提升穩健性。

圖8 白噪聲增益Fig.8 White noise gain

圖9 指向性指數Fig.9 Directivity index

5 彈性圓柱內覆蓋層不同材質時頻率不變響應波束形成性能分析

本文仿真研究的彈性雙層圓柱界面材料參數如表2所示，選取不銹鋼，鋁合金和鈦合金作為內覆蓋層的材料，進行頻率不變響應波束形成，并觀察分析性能變化。此時頻率不變響應波束形成方法的指向性指數在頻率范圍內均穩定在7.2dB左右。

白噪聲增益，指向性指數隨頻率變化如圖10所示。界面尺寸為：

Ra=0.25 m,Rb=0.35 m,Rc=0.50 m

由圖10(a)可得，當內覆蓋層材質為鋁合金時，白噪聲增益的極小值最小，下降趨勢最快，鈦合金其次，相比之下材質為不銹鋼時，白噪聲增益隨頻率變化相對更穩定。且白噪聲增益極小值點頻率向更高的頻率偏移。內覆蓋層材質選取為不銹鋼時，可以獲得略好的白噪聲增益，更貼近剛性障板情況下的白噪聲增益。由圖10(b)可知，當材質不同時，頻率不變響應波束形成方法在給定頻率內保持著良好的頻率不變性，指向性指數穩定在7.2 dB。

圖10 內覆蓋層不同材質時的白噪聲增益和指向性指數Fig.10 WNGs and DIs of inner cover with different materials

6 彈性圓柱覆蓋層不同厚度時頻率不變響應波束形成性能分析

本節彈性雙層圓柱障板外覆蓋層半徑有Rc=0.5 m，改變內覆蓋層半徑Rb和內腔半徑Ra，材料參數如表2所示。分析外覆蓋層和內覆蓋層厚度對頻率不變響應波束形成方法性能的影響。內覆蓋層材質選取為不銹鋼，外覆蓋層材質為橡膠。

只改變內覆蓋層半徑Rb，此時內腔和外徑有Ra=0.3 m,Rc=0.5 m，此時彈性圓柱中不銹鋼和橡膠的厚度在發生變化，白噪聲增益變化如圖11(a)所示。隨著不銹鋼層厚度的增加和橡膠層厚度的減小，白噪聲增益在頻率范圍的極小值點向更高的頻率偏移，且白噪聲增益幅度變化越來越大。在低頻段，白噪聲增益與剛性圓柱的基本相同，表明在低頻段，彈性圓柱材料參數的改變對頻率不變響應波束方法穩健性影響較小。內腔大小確定時，橡膠厚度越大，穩健性越好。由圖11(b)可知改變彈性圓柱的內外覆蓋層厚度大小，頻率不變響應波束形成方法都有很好的頻率不變性。

圖11 內腔大小固定時的白噪聲增益和指向性指數Fig.11 WNGs and DIs of fixed size intracavity

只改變內腔半徑Ra，彈性圓柱的不銹鋼層厚度發生變化，此時Rb=0.42 m,Rc=0.50 m，橡膠厚度固定為0.08 m。白噪聲增益如圖12(a)所示。當不銹鋼層厚度逐漸增加時，白噪聲增益的變化趨勢逐漸平緩，高頻處極小值點向高頻偏移且數值變大。當不銹鋼層厚度越小時，在極小值點頻率向右偏移，白噪聲增益變化幅度越大，入射波頻率對頻率不變響應波束形成方法穩健性影響越大。當橡膠厚度固定時，不銹鋼厚度的適當增加可以使適用頻率范圍內的白噪聲增益更加穩定。由圖12(b)可知改變彈性圓柱的內腔和內覆蓋層厚度大小，頻率不變響應波束形成方法都有著很好的頻率不變性。

圖12 橡膠厚度固定時的白噪聲增益和指向性指數Fig.12 WNGs and DIs of fixed rubber thickness

維持不銹鋼層厚度為0.1 m，改變內腔半徑Ra值，Rb=Ra+0.1 m,Rc=0.5 m，白噪聲增益隨頻率變化如圖13(a)所示。由圖13(a)可知，當不銹鋼厚度固定時，橡膠越薄，使得白噪聲增益在頻率范圍內的極小值越小，白噪聲增益對頻率的變化越敏感，在一定頻率范圍內使得頻率不變響應波束方法穩健性變差。由圖13(b)可得，改變彈性圓柱的外覆蓋層和內腔尺寸大小，頻率不變響應波束形成方法都有很好的頻率不變性。

圖13 不銹鋼層厚度固定時的白噪聲增益和指向性指數Fig.13 WNGs and DIs of fixed steel thickness

從本節白噪聲增益隨頻率變化的3幅圖中，可以看到剛性障板條件下和彈性圓柱障板條件下的白噪聲增益在一定頻率范圍內是相吻合的。整體上剛性障板可以看作是理想情況下的彈性障板條件，但實際在較高頻，彈性圓柱障板的白噪聲增益受圓柱參數影響較大，很難達到剛性障板時的白噪聲增益，因此研究分析彈性障板條件下傳感器陣列頻率不變響應波束形成方法的性能是有意義的。

7 結論

1)在給定頻率范圍內，彈性雙層障板與剛性障板均可保證頻率不變響應波束形成方法良好的頻率不變性，且彈性雙層障板覆蓋層總的尺寸固定時厚度和材料的改變對頻率不變性影響不大。且整體上剛性障板可以看作是理想的彈性障板條件，但在水下彈性圓柱障板很難達成剛性假設下的性能。

2)在較低頻率范圍內，彈性雙層障板與剛性障板均可改善頻率不變響應波束形成方法的穩健性，且彈性雙層障板的參數對性能的影響可以忽略，此時信號頻率越高，圓環陣頻率不變響應波束方法穩健性越好，且白噪聲增益隨頻率增加迅速提升。

3)在較窄的高頻范圍內，不銹鋼層和橡膠層的加厚，均有利于改善頻率不變響應波束形成方法的整體穩健性，減小了白噪聲增益極小值和該點頻率左右變化幅度。當不銹鋼層和橡膠層總的厚度確定時，此時橡膠層的加厚更能提升頻率不變響應波束形成方法的穩健性，減小白噪聲增益極小值和該點頻率左右變化幅度。

總之，當使用本文中尺寸確定的彈性障板表面傳感器陣列時，在允許的范圍內，內腔應盡可能小，橡膠層應盡可能厚，不銹鋼層厚度應盡可能薄，但其強度需足以支撐和固定整體框架。