關于初中數學“最短路徑問題”的歸類

吳文俊 吳海元

初中數學人教版八年級上冊課題學習“最短路徑問題”，實際上是幾何中的最值問題。幾何中的最值問題是指在一定的條件下求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段的長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或者最小值。這類問題學生初次接觸，往往無從下手，是初中階段幾何教學的難點，本人在教學過程中將這類問題歸納為四種類型：

類型一：在直線l上找一點P，使其到直線同旁兩定點A、B的距離最短。

依據：兩點之間，線段最短。

解決方法：作點A（或點B）關于直線L的對稱點A'（或B'）連接A'B（或B'A）交L于點P，點P即為所求。

鞏固練習1：如圖，在等邊△ABC中，邊BC上的高AD=5，點P是高AD上的一個動點，E是邊AB的中點，在點P運動的過程中，存在PE+PB的最小值，則這個最小值是（ ?）

A：4 ? B：5 ? ? C：6 ? ? D：10

解題思路：顯然B、E兩定點在AD的同旁，欲在AD上求符合條件的點P，只需作B點關于AD的對稱點，而B、C關于AD對稱，因此只需連CE交AD于點P，所以CE就是PE+PB的最小值。選B

鞏固練習2.如圖，臺球桌上有一黑球M一個白球N，如何去擊白球使其撞到AB邊反彈后在撞到黑球上（說明方向即可）？

解題思路：顯然M、N兩定點在AB的同旁，欲找撞擊方向，只需作N關于AB的對稱點N'，連MN'交AB于點P。利用物理學入射角等于反射角，沿NP方向撞擊白球即可。

鞏固練習3：如圖，正方形ABCD的邊長為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上求一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ? ?）

A：5 ? ? B：6 ? ?C：8 ? ?D：12

解題思路：顯然D、E兩定點在AC的同旁，且B、D關于AC對稱，連BE交AC于點P，則P點為所求。顯然選D

類型二：在已知∠MON的一邊ON上有一定點A，在兩邊OM、ON上分別找一個點P、Q，使PQ+PA最小。

依據：垂線段最短.

解決方法：如圖，作定點A關于OM的對稱點A'，過點A'作ON 的垂線交OM于P，交ON于Q，則點P、Q為所求，且A'Q為PQ+PA的最小值。

鞏固練習1.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點E在邊OB上，且OE=10厘米，點F是OB上的動點（不與點E重合），點P是OC上的動點，求PE+PF的最小值。

解題思路：過點E作OC的對稱點E'，過點E'作E'F⊥OB，垂足為F，交OC于點P，則P、F為所求的點，且E'F為PE+PF的最小值。（易求E'F=5 ?）

鞏固練習2.正方形ABCD的對角線AC長為4，∠DAC的角平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值為（ ?）

解題思路：顯然，D為∠DAE的邊AD上一定點，P、Q是AD和AE上的動點，欲使DQ+PQ最小，只需作D關于AE的對稱點D'，再過點D'作D'P⊥AD，垂足為P，交AE于點Q，則D'P就是DQ+PQ的最小值。（易求D'P=2）

類型三：在∠BOC的內部有一定點A，在角的兩邊上有兩個動點P、Q，使兩動點與定點A構成的△APQ周長最小。

依據：兩點之間，線段最短.

解決方法：作點A關于∠BOC兩邊的對稱點M、N，連接MN交∠BOC的兩邊于P、Q，則P、Q為所求的點。且MN的長為△APQ周長的最小值。

鞏固練習1：如圖，∠MON=30°，P是∠MON中的一定點，點A、B分別在射線OM，ON上移動，當△PAB的周長最小時，

∠APB的值為 （ ? ）

解題思路：過點P分別作OM，ON的對稱點P1、P2，連接P1、P2交于OM，ON于點A、B，則A、B所求的點，且P1P2為△PAB周長最小值。（易求∠APB=120°）

鞏固練習2：四邊形ABCD中

∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M，N使△AMN得周長最小，此時∠AMN+∠ANM的度數（ ?）

解題思路：此題可以把點A看作是∠DCB內一點，欲使△AMN的周長最小，需作點A關于CB，CD的對稱點A1、A2連接A1A2交CB，CD于點M、N，點M、N即為所求，此時∠AMN=2∠A1，∠ANM=2∠A2， ∠AMN+∠ANM=2（∠A1+A2）=120°。

類型四：在角的內部有兩個定點A、B，在角的兩邊有兩個動點P，Q，使兩動點與兩定點構成的四邊形周長最小。

依據：兩點之間，線段最短。

解決方法：分別過點A、B作OM、ON的對稱點A'、B'，連接A'B'交OM、ON于點P、Q，則A'B'+AB為四邊形ABPQ周長的最小值。

鞏固練習：牧馬人從A地出發，先到草地某處牧馬，在到河邊飲水，然后回到B處，請畫出最短路徑。

解題思路：分別作點A、B關于草地、河對稱點A'、B'，連接A'B'交草地、河邊P、Q，則行進的最短路徑為A→P→Q→B。