從光的單縫衍射分析動量與坐標的不確定關系

[摘 要]如何理解不確定關系是量子力學教學中的難點之一，初學者對其存在一定困惑。文章從經典物理中易理解的光的單縫衍射條紋特點出發，進一步分析了量子力學中的不確定關系并展開討論，助力學生對知識點的理解與掌握。

[關鍵詞]光的單縫衍射;條紋特點;動量與坐標;不確定關系

[中圖分類號] O 413.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）10-0112-03

量子力學作為近代物理兩大支柱之一，其產生和發展都給經典物理學帶來巨大的沖擊與變革，幾乎顛覆了以牛頓力學為代表的經典物理理論，也不斷促使人們對物理的認識不斷深入。可以說，現代物理學的分支及相關的邊緣學科無一不是建立在量子力學基礎之上的[1]。

一、從經典到量子的學習困惑

量子力學的研究對象主要是微觀世界物質的運動，量子力學中許多概念與經典物理有著根本性的區別，相應的原理也自然不同， 如何“擺脫”經典物理思想去理解量子力學是學生面臨的第一難題[2]。而且量子力學所包含的新概念、新思想與經典力學差別大。普遍認為量子力學提出的概念有悖于日常生活的物理直覺，初學者要拋棄原有經典物理的一些觀點， 從不同角度重新理解自然界的本質[3]。量子力學中很多理論難以與從日常生活經驗所得出的結論相對應，而且有些理念往往與現實生活所得到的結論相違背，要讓學生在有限的時間內完成長期以來形成的經典物理理論向量子力學新理念的轉變，無疑是很難做到的，加之在對其學習的過程中需要一定的數學功底，使得大部分學習此科目的學生感到困難和迷惑，甚至有的學生在學了一段時期量子力學后仍對所學知識持懷疑態度。如何在有限的時間內入門是初學者在由經典向量子過渡過程中遇到的瓶頸。不確定關系（又稱測不準原理）是德國物理學家海森堡于1927年進行的量子物理實驗得出，并因此獲得了1932年的諾貝爾物理獎，這是由于微觀粒子具有波動和粒子兩重性，體現在量子力學中，一個微粒的某些物理量，不可能同時具有確定的數值，其中一個量越確定，另一個量的不確定程度就越大，這就是測不準原理[4]。坐標是描述物體位置的物理量，動量是指的物體的質量與其速度的乘積，是一個表示物質運動狀態的物理量，在經典力學中，質點的動量與坐標是可以同時精確測定的，質點的動能、勢能等其他物理量是坐標和動量的函數，只要坐標的動量有確定的值，其他物理量的值也就確定了。故在經典物理中，通常借助于質點的坐標和動量（或速度）來描述質點的運動狀態。但對于微觀世界而言，例如電子，同時測量其位置和動量卻成為不可能。海森堡所提出的量子不確定性原理和矩陣力學奠定了現代量子力學堅實的基礎，并凸顯了經典力學和量子力學的本質不同[5]。不確定關系作為量子力學基本原理作為量子力學的一個基本原理，原子零點振動的存在就充分認證了不確定關系的正確性。本文從經典物理中的光的單縫衍射出發，通過類比和推導的方式來分析坐標與動量的不確定關系，讓學生更好地理解量子力學的這一基本原理。

二、單縫衍射條紋特點

如圖1所示，是在實驗室中夫瑯禾費衍射裝置，其中L1和L2是兩個凸透鏡，接收屏幕位于透鏡L2的焦平面處，點光源通過透鏡L1折射后變為一束平行光，照在狹縫（衍射屏）上，狹縫開口處的波前向各個方向發出次波（衍射光線），方向相互平行的衍射光線在經過透鏡L2后匯聚在其像方焦平面的同一點上。在研究這個問題上，常用的方法是利用菲涅爾的子波波源思想將波陣面分割成多個面積相等的波帶，并且滿足相鄰波帶對應的子波到觀察點的光程差為半個波長（又稱之為菲涅爾半波帶法）。于是，偶數個半波帶相互干涉的總效果，是在觀察點相干減弱，使得觀察點呈現暗紋中心;若波面被分為奇數個半波帶，此時相鄰兩個半波帶上各對應點的子波相互干涉抵消后，只剩下一個半波帶的子波到達觀察點時沒有被抵消，因此觀察點一般是明紋中心，其結論如下[6]：

暗紋中心滿足： [Bsinθ=±2kλ2=±kλ，k=1，2，...] （1） ? ? ? ? 明紋中心滿足：[Bsinθ=±2k+1λ2，k=1，2，3...] ?（2）

通常情況下，單縫衍射條紋的衍射角很小，[sinθ≈tanθ]，則條紋在屏上距離中心的距離可表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[Y=ftanθ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

由式（1）-（3）可得，中央明紋寬度：

[ΔY0=2λfB] ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? （4）

其他明紋寬度： [ΔY=λfB] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中[B]為縫寬，[θ]為衍射角，規定豎直方向為[y]方向。

由式（5）可以看出，對于一定頻率的入射光而言，縫寬與條紋寬度成反比，即：

[B↓→ΔY↑B↑→ΔY↓] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

這也與單縫衍射過程中所觀察到的實驗現象相吻合。在傳統的教學中，學生對這一部分知識點的理解和掌握情況遠好于“不確定關系”，相關調研情況如下：

表1和圖2是所顯示的是對一個76人的教學班級調查情況，從圖表中的定量描述可以看出，采用如上所述的菲涅爾半波帶法，構思非常巧妙，有效地避免了煩瑣的數學推導，便能得出單縫衍射條紋的特點，學生易理解，掌握情況也較好;而按照傳統的先后順序對于不確定關系的授課效果就不樂觀。

三、單縫衍射與不確定關系對比分析

為了讓學生更好地理解坐標與動量的不確定關系，下面從單縫衍射的條紋特點出發，用類比的方法分析量子力學中坐標與動量的不確定關系。為了更加直觀，我們用如圖3表示的粒子單縫衍射光路，光粒子從位于凸透鏡焦點處點光源O發出后經過凸透鏡折射，成為平行光，并以確定的動量[P0]射向帶有單縫的屏，單縫處于y方向，令狹縫的寬度

[B≡Δy] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

顯然，式（7）決定了粒子坐標在狹縫屏上在y方向上的變動范圍，在其后的觀察屏出現的是衍射條紋，可以認為，觀察屏上所顯示的衍射條紋的寬度，所體現的是粒子在y方向上的動量[Py]的變化范圍[ΔPy]，由式（6）可知，狹縫越窄（即[Δy]越小），衍射條紋的寬度就會越寬（即[ΔPy]越大）。對于一般的光的單縫衍射而言，其衍射角、波長和狹縫寬度均有如下關系：

[α≈λ2πB=λ2πΔy] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，[λ2π]又稱之為圓波長。

在衍射角不太大時，衍射角與入射粒子的動量[P0]及在[y]方向上的動量變化范圍[ΔPy]的關系為：

[α≈ΔPyP0] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

由德布羅依關系可得[7]：

[λ=hP0] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

其中[h]為普朗克常數（[h≈6.626×10-34J?s]），由式（8）-（10），可得

[Δy?ΔPy≈h2π] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

通常情況下，如果把衍射圖樣的次級也納入考慮范圍之內，式（11）應修正為：

[Δy?ΔPy≥h2π] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

式（12）即為粒子在[y]方向上的坐標與動量的不確定關系。這表明：粒子的坐標與動量二者不能同時確定，也可以認為，一個量越確定（即變化范圍越小），另一個量不確定程度就會越大（即變化范圍越大），即

[Δy↓→ΔPy↑Δy↑→ΔPy↓] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

對比式（6）與式（13）物理量之間的對應關系如表1所示：

通過表2中所示的單縫衍射和不確定關系各個物理量之間的對比可以通過對光的單縫衍射實驗特點與規律更好的理解量子力學中的不確定關系，通過在實際的教學過程當中分析也易得，采用對比法的講解效果明顯優越于傳統法，如下表3及圖4所示。

四、結束語

不確定關系反映了微觀粒子運動的基本規律，是微觀粒子具有波動性和粒子性兩重性的必然體現，也是物理學的重要原理之一，微觀粒子除了坐標和動量滿足不確定關系外，有些其他的物理量如方位角與動量矩、時間和能量等也都滿足不確定性關系。其集中反映了量子力學規律的特點，規定了經典力學軌道概念的適用程度[8]。在經典力學看來，質點都有一定的運動軌道，在任意時刻都有確定的位置和動量，即[Δy=0]，[ΔPy=0];從不確定關系看來，粒子的位置越確定，即[Δy]越小（[Δy→0]），動量的漲落[ΔPy]就會越大（[ΔPy→∞]），反之，動量測得越準確（[ΔPy→0]），位置的測量不確定范圍就會越大（[Δy→∞]）。然而，在式（12）的限制下，如果[Δy]與[ΔPy]都很小，此時可以忽略不計，則軌道概念仍可近似成立，形成了由量子力學向經典力學之間的過渡。總之，不確定度關系給我們指出了使用經典粒子概念的一個限度，這個限度用Plank常量[h]來表征，當[h→0]時，量子力學將回到經典力學，或者說量子效應可以忽略[9]。不確定關系的確立，顯示并無絕對“客觀”，即與探測者完全無關的自然事物，它在很多領域中有其廣泛的應用，如在理論前沿、科技、經濟、哲學等方面[10]。在大學物理中有關近代物理的教學中，學生是否理解這一基本原理是其能否踏入量子之門的關鍵。在教學安排上，光的衍射部分在經典物理的教授范圍，并且還配有相關的實驗教學，是學生先行學到的內容，且容易掌握，這樣通過對單縫衍射特點和規律來理解和掌握不確定關系，更符合學生的認知規律、從而達到相應的教學效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 曾謹言.量子力學教學與創新人才培養[J].物理，2000（7）：436-438.

[2] 宮昊，程榮龍. 量子力學課程教學中的困惑與思考[J].廣西物理，2016（2）：42-44.

[3] 張立彬.中外量子力學教材中有關“波函數的統計詮釋”論述的區別與思考[J].大學物理，2013（5）：29-33.

[4] 金石琦. 量子調控物理學[M].北京：科學出版社，2015：6.

[5] 肖運龍. 量子測不準原理以及單邊信息理論[R].廣州：華南理工大學，2017.

[6] 馬文蔚. 物理學[M].北京：高等教育出版社，2014：8.

[7] 蘇如鏗. 量子力學[M].北京：高等教育出版社，2002：12.

[8] 錢伯初. 量子力學[M].北京：高等教育出版社，2006：1.

[9] 曾謹言. 量子力學[M].北京：科學出版社，2013：10.

[10] 袁愛芳，劉迪迪. 淺析量子力學中的不確定性原理[J].大學物理，2011（11）：44-49.

[責任編輯：張 雷]

[收稿時間]2020-05-18

[基金項目]浙江省教育廳一般科研項目（Y201737504）。

[作者簡介]張玉強（1977-），男，山東臨沂人，武警海警學院副教授，博士，主要從事量子物理研究和物理教學研究工作。