荷載工況多目標下鋼筋混凝土深梁的拓撲拉壓桿模型設計

張鵠志，黃垚森，郭原草，徐文韜

(1.湖南科技大學土木工程學院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

在鋼筋混凝土(簡稱RC)深梁構件配筋設計問題上，GB 50010—2010 《混凝土結構設計規范》(2015版)建議的基于試驗數據的半經驗設計方法存在配筋結果較保守、力學理論支撐不足等缺點；而其他國家的規范，如美國[1]，則有拉壓桿模型等應力設計方法的建議。研究表明，漸進演化類算法等拓撲優化方法是構建拉壓桿模型的一種可靠且有效的思路[2-5]，但這類方法大多基于某特定的單一荷載工況目標開展優化，無法滿足工程結構設計中考慮自重荷載、人群荷載、風雪荷載、地震荷載等多種復雜荷載工況的需求。因此，研究多荷載工況目標下的鋼筋混凝土深梁等復雜受力構件優化設計方法很有必要。

結構拓撲優化算法中工程應用較多的有兩類，一類是漸進結構優化類算法，源自Xie等[6]在1993年提出的漸進結構優化(簡稱ESO)。該算法基于應力分布進行迭代優化，逐步刪除結構中的低效或無效單元，演化出結構拓撲。這類算法之后又根據不同的演化方向和淘汰機制衍生出遞增結構優化[7]、雙向結構優化[8]、遺傳演化結構優化[9](簡稱GESO)等，特別是GESO，引入概率性淘汰機制，抑制了ESO棋盤格現象等缺陷并提高了這類算法的全局尋優能力。另一類是Bendsoe等[10]提出的固體各向同性材料懲罰模型(簡稱SIMP)。SIMP模型具有程序設計簡單、便于實現和工程應用等優點，但灰度單元等問題仍需進一步解決。以上這些拓撲優化算法在機電設計[11]、汽車制造[12]、建筑結構[13]、工程力學[14]等領域都得到了一定的應用，但運行中均缺乏能考慮多種荷載工況的運用方式。有學者針對該問題展開研究，特別是關于荷載工況多目標下的病態荷載問題，如秦浩星等[15]將應變能目標函數歸一化，獲取最優工況權重系數，提出多工況結構拓撲折中規劃模型；楊德慶等[16]利用映射變換解法處理荷載工況多目標下的病態荷載問題。這些研究在一定程度上推動了多目標拓撲優化算法的發展，但在工程應用，特別是在土木工程領域，還面臨較多的困難。因此，解決荷載工況多目標下的病態荷載問題，借助拓撲優化算法構建拉壓桿模型，分析模型并據之探討構件受力特性，以期形成深梁類構件的拓撲拉壓桿模型設計方法。

1 荷載工況多目標GESO及拉壓桿模型

1.1 荷載工況病態的處理

在有限元建模分析中，面臨多荷載工況(P1，P2，…，Pn)時，如果某荷載值Pi遠大于另一荷載值Pj，可能造成模型中部分單元在這兩個工況下的應變能或應力靈敏度存在數量級的差別，從而導致較小荷載工況對最后的拓撲解無法體現，即出現荷載工況多目標下的病態荷載。

1.2 荷載工況多目標GESO

荷載工況多目標GESO中，對第k個工況下單元應變能表達式[9]如下：

(1)

式中：Ci,k、Ti、ui——在第k個工況下第i個單元的應變能、剛度矩陣與位移向量。

此時，荷載工況多目標下單元應變能靈敏度如下：

Ci=max{Ci,1,Ci,2,…,Ci,k,…,Ci,n}

(2)

(3)

式中：Vi——第i個單元的體積(面積)；l——存活單元總數。

由于優化對象材料的密度是均勻的，因此物體的質量與體積(面積)呈線性關系，可在優化過程中定義性能指標T[9]：

(4)

利用式(1)和式(2)實現以給定質量下剛度最大為目標的優化，利用式(4)逐代記錄的T值完成最優拓撲的判定。

荷載工況多目標GESO的具體步驟如下：(a)建立鋼筋混凝土有限元模型，給出約束條件與荷載等價化處理后的荷載條件；(b)分別求解結構在每種荷載工況下的平衡方程，獲取單元相應的應變能靈敏度；(c)提取每個單元在各荷載工況單獨作用下的應變能靈敏度最大值，作為其在該代的靈敏度；(d)判定是否滿足停止準則，若滿足，則跳出循環；否則繼續優化；(e)選擇所有存活單元進行雜交與變異等遺傳算子操作；(f)根據優化準則完成選擇與舍去，返回步驟(b)。

荷載工況多目標GESO的流程圖如圖1所示。

圖1 荷載工況多目標GESO的流程Fig.1 Flow chart of multi-objective GESO of loads

1.3 拓撲拉壓桿模型的力學計算

在將荷載工況多目標GESO的拓撲解用于輔助拉壓桿模型以指導配筋設計時，需先求解拉壓桿模型的軸力分布，該軸力分布為各個荷載目標下的拉壓桿模型的軸力包絡值分布。

2 鋼筋混凝土深梁算例

2.1 單側開洞簡支深梁

單側開洞簡支深梁，梁寬b=160 mm，其余尺寸如圖2(a)所示。第一個荷載工況為單獨承受向下的P1=100 kN，第二個荷載工況為單獨承受向下的P2=100 kN。利用ANSYS中的APDL二次開發平臺來實現荷載多目標GESO，利用善于處理平面應力問題的八節點單元——plane82平面單元建立鋼筋混凝土整體模型，以實常數表達梁寬信息。在該模型中，鋼筋混凝土被作為一種兼具良好拉壓性能的復合材料來模擬，泊松比取0.2，彈性模量取28 GPa，單元尺寸為20 mm×20 mm，基于線彈性分析結果進行優化。此外，參考文獻[9]的研究結論，變異率和雜交率均取0.2，最優個體選擇率取0.3。

圖2 單側開洞簡支深梁的拓撲優化Fig.2 Topological optimization of simply supported deep beam with a one-side opening

算例在各種不同荷載工況目標下的拓撲解如圖2(b)～(f)所示。從圖2(b)(c)(e)可知，單一荷載工況下的拓撲解演化為較清晰的桿系結構，是易于參照構建拉壓桿模型的；而直接疊加兩個荷載工況的拓撲解得到的圖2(d)，是較為混沌的，據之建立拉壓桿模型較為困難。根據荷載工況多目標GESO的具體步驟與流程圖完成荷載工況多目標GESO，得到的圖2(f)正是兼顧兩個荷載工況目標完成GESO所得的拓撲解，已顯示為典型的桿系結構。從圖2(f)可以看出其與前面幾種拓撲解的顯著區別，至少說明荷載工況多目標GESO，與按單目標優化分別獲取不同荷載工況下的拓撲解，再彈性疊加這些拓撲解的優化方式，以及與按同時作用多種荷載工況的單目標優化相比，優化路徑完全不同。參照圖2(f)人工完成拉壓桿模型的建立，再展開兩個荷載工況分別單獨作用下的拉壓桿模型結構力學分析，桿件內力結果及其包絡結果見圖3(圖中數字表示受拉時的包絡限值，括號內的數字表示受壓時的包絡限值)。在建立拉壓桿模型時，為了使構建的拉壓桿模型更貼近拓撲解，參考文獻[17]的觀點，拉壓桿模型并非桁架模型，在保證計算彎矩較小時，可以將這些拉壓桿模型中桿件間的連接均采用剛結點。由于在P1單獨作用下桿件AB彎矩最大，MAB=0.63 kN·m；在P2單獨作用下桿件CD彎矩最大，MCD=0.39 kN·m。可見，不管作用哪個荷載工況，模型中的彎矩水平均相當低，可以忽略不計。假定所有桿件的抗彎剛度EI均相等時，正應力可以忽略不計，利用該拓撲解能夠建立以P1、P2為荷載工況目標較理想的拉壓桿模型。同時，由該模型能夠較好地滿足所設計荷載工況的受力性能表明：先等價化荷載后，再在構建拉壓桿模型時考慮實際荷載工況條件這一思路可以避免荷載病態現象。

圖3 荷載多目標GESO所建拓撲拉壓桿模型的軸力解及包絡結果(單位：kN)Fig.3 Axial force solutions and their envelope results of topological Strut-and-Tie model constructed by multi-objective GESO of loads (unit: kN)

為了進行對比，根據圖2(b)建立拉壓桿模型，同樣完成兩個荷載工況分別單獨作用下的拉壓桿模型結構力學分析(所有桿件抗壓剛度EA均取等值)，桿件內力結果見圖4。雖然圖4(a)和圖4(b)分別與圖3(a)和圖3(b)中的軸力水平相差不大，但圖4(a)中桿件EF的E端和桿件GI的H端彎矩值已達到一定的數量級，如此高的彎矩水平顯然不符合拉壓桿模型特性，該拉壓桿模型無法滿足另一個荷載工況目標，是不合理的。

圖4 P1工況對應荷載工況單目標GESO所建拓撲拉壓桿模型的軸力解(單位：kN)Fig.4 Axial force solutions of topological Strut-and-Tie model constructed by single-objective GESO of load case P1 (unit: kN)

再根據圖2(e)建立拉壓桿模型，完成兩個荷載工況分別單獨作用和共同作用下的拉壓桿模型結構力學分析，桿件內力結果及兩個荷載工況單獨作用的軸力包絡結果見圖5(圖中數字表示受拉時的包絡限值，括號內的數字表示受壓時的包絡限值)。

a.在P1單獨作用下桿件JK彎矩最大，MJK=4.07 kN·m，在P2單獨作用下桿件LM彎矩最大，MLM=2.62 kN·m，表明僅從彎矩水平來看，不管是P1還是P2單獨作用，該P1與P2同時作用作為單獨工況對應的荷載工況單目標GESO所建立的拓撲拉壓桿模型都劣于荷載工況多目標GESO所建立的拓撲拉壓桿模型。

b.比較圖3(c)和圖5(c)的應變能水平，假定兩種拉壓桿模型中的桿件軸向剛度均為定值抗壓剛度，按下式計算每根桿件的應變能和模型的平均應變能：

圖5 P1與P2共同作用工況對應荷載工況單目標GESO所建拓撲拉壓桿模型的軸力解及包絡結果(單位：kN)Fig.5 Axial force solutions and their envelope results of topological Strut-and-Tie model constructed by single-objective GESO of applying load cases P1 and P2 simultaneously(unit:kN)

(5)

(6)

c.在P1與P2共同作用下桿件NO彎矩最大，MNO=1.37 kN·m，但從圖5(d)可以看出，模型的軸力水平已遠遠高于圖3(c)。所謂荷載工況多目標，即這些荷載工況一般不會同時作用(同時作用的實際是荷載單工況目標問題)，所以如果直接參照圖5(d)進行配筋設計，明顯是極不經濟的，此時，荷載工況多目標下拉壓桿模型設計方法的價值就更加突顯。

2.2 3種荷載工況加載時兩端固定鉸支深梁

3種荷載工況目標下的兩端固定鉸支深梁，梁寬b=160 mm，其余尺寸見圖6(a)。3種荷載工況分別為單獨承受向下的P1=100 kN、P2=100 kN和P3=100 kN。荷載工況多目標GESO所得的拓撲解如圖6(b)所示。

圖6 3種荷載工況加載時的簡支深梁荷載工況多目標GESO拓撲優化Fig.6 Topology optimization of simply supported deep beam loaded by three points by multi-objective GESO of loads

圖7所示的拓撲解出現了少量不對稱的細節，這是由于GESO中引入了遺傳算法，優化過程具有概率性所引起的，此外，計算浮點誤差時也可能造成這種現象。從傳力路徑的角度上看，桿件的主要傳力路徑集中在幾根主斜壓桿上，這些主斜壓桿均對稱；其余為次要傳力路徑支桿，不對稱的情況也主要發生在這些支桿上。出于簡化，以圖6(b)的右側部分為主要參考，參照圖6(b)建立如圖7(a)所示的拉壓桿模型。在完成結構力學分析(所有桿件EA均取等值)時，發現這些支桿的內力水平遠低于主要桿件，基本可以忽略。進一步簡化忽略支桿，建立精簡后的拉壓桿模型，如圖7(b)所示，并得到軸力包絡結果。經計算，該拉壓桿模型結點彎矩很小，可以忽略。從圖7(b)可以看出，該拉壓桿模型下，內力水平和分布均較合理，傳力3種荷載工況下的傳力路徑均明確且簡潔，證明了荷載工況多目標GESO的穩定性及面臨更多荷載工況目標時的優化能力。

圖7 3點加載簡支深梁的拓撲拉壓桿模型Fig.7 Topological Strut-and-Tie models of simply supported deep beam loaded by three points

在以上荷載工況多目標GESO算法和拓撲拉壓桿模型建立方式下，一方面，不同邊界條件下的深梁所得到的拉壓桿模型軸力解結果均未出現對某一荷載工況作用的忽略，即有效避免了荷載病態現象，說明等價化荷載后再構建拉壓桿模型時，考慮實際荷載工況條件這一思路是可行的；另一方面，由于GESO對棋盤格現象良好的抑制能力，依據其拓撲解建立拉壓桿模型是一條直觀可行的思路。

2.3 鋼筋混凝土深梁的配筋建議

由文獻[4]深梁的配筋設計試驗結果可知拉壓桿模型設計的深梁，一方面能保證承載力，另一方面能節省鋼筋用量，同時更加符合深梁的復雜受力特性。此外，由于GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》(2015版)踐行極限狀態設計法，認為受拉混凝土在開裂后退出工作，荷載通過鋼筋拉桿及未開裂混凝土構成的壓桿進行傳遞[17]。結合本文算例，經荷載工況多目標GESO建立的拓撲拉壓桿模型及其結構力學分析結果，給出如圖8所示的配筋建議方案，其中圖3(c)和圖7(b)的拉壓桿結果可分別參考圖8(a)和圖8(b)進行配筋設計。

圖8 鋼筋混凝土深梁的鋼筋布置建議Fig.8 Reinforcement layout suggestions for RC deep beams

3 結 論

a.在荷載工況多目標優化設計時，先等價化荷載以求取拓撲解并據之建立拉壓桿模型，再逐一輸入每個實際荷載工況值完成力學分析，取桿件軸力包絡值作為設計參考，可以有效解決病態荷載問題。

b.在GESO的每一代遺傳演化前，每個單元取其在各工況單獨作用下的應變能最大值作為該代靈敏度參數，GESO算法即被拓寬至可以處理荷載工況多目標優化問題。

c.根據拓撲解建立拉壓桿模型并完成力學分析，以模型桿件內力水平及分布為指標進行比較，各種荷載工況單目標優化方式得到的拓撲解都劣于荷載工況多目標GESO，表明荷載工況多目標GESO的全局尋優能力較強。

d.荷載工況多目標GESO可以較有效地抑制棋盤格現象，獲取較清晰的桿系結構拓撲解，依據其建立拉壓桿模型是一種直觀可行的方法。