培養學生逆向思維 提升數學解題能力

初中數學課程是一門邏輯課程，也是一門思維課程。在日常授課過程中，為了貼合學生的思維模式，教師一般采用正向思維進行教學。但在實際解題過程中，學生發現有些問題不能用正向邏輯思維來解決，也就是說，采用慣性思維無法求解，需要借助逆向思維。

對大部分學生來說，使用逆向思維解題存在一定的困難，主要原因是他們對數學基礎知識掌握不牢固，應用不靈活。所以，教師要通過訓練使學生形成逆向思維，從而培養學生的數學技能，啟發學生的智力，提升學生的解題能力，發展學生的思維品質，提高學生的數學綜合素養。

一、反例法，糾正錯誤結論

在中學數學中，反例法是常用的逆向思維方法之一。初中生在學習數學的過程中，可能因為沒有真正掌握知識，也可能因為沒有全面理解問題，或者認識不到知識點之間的聯系，在做題過程中思緒模糊、邏輯混亂，從而導致解題錯誤。針對學生的錯誤思路，教師可以利用反例法指導學生論證結論，這不僅可以幫助學生找到錯誤的根源，還可以幫助學生填補自己的知識漏洞，提高學生的解題能力。

學生解答，方程兩邊同時乘以1-x2

得 2?（1?x)=1?x2

移項得x2+x=0

解得x1=0，x2=1

解答結束。

該題解答錯誤的原因是在和方程式相乘時，學生默認(1-x2)因子是不為0 的數，但在計算完成后，忘記驗證兩個結果對因子和方程式的影響。教師可以提醒學生，在求解方程式后，應將結果帶入原式進行驗算。學生在教師提醒后，通過計算發現，本題的結果只有x=0一個值。所以，教師在教學中利用舉反例的方式，不僅能夠幫助學生發現錯誤，正確計算出結果，還能使學生養成良好的解題習慣，提升數學思維品質。

二、逆推法，形成新的結構

逆推法常用于運用正向思維無法直接計算，或者直接計算會消耗大量時間和精力的問題。解答這類問題的關鍵是感應未知的結果，從結果推向已知的條件，或者從問題的結論入手尋找條件，形成新的結構。所以，學生使用逆推法的前提是對相關知識點很熟悉，這樣才能根據題目條件聯想可能用到的定理、定義或公式。

例如，已知|a|＜1，|b|＜1，求證|a+b|＜|1+ab|.

觀察該題目，條件是單向絕對值不等式，結論是雙向絕對值不等式。通過條件可知a和b兩個值的范圍，但無法獲知其真正的值。同時，該題目直接證明存在困難，不管從左到右還是從右到左，都無法進行絕對值的合并計算。所以，在證明題目時，學生要認真思考條件和結論的特點，既然從條件到結論無法直接推導，就可以嘗試從結論向條件推導，此時該題目就變成了，如果|a+b|＜|1+ab|，那么|a|＜1，|b|＜1。

一般為了保證絕對值和不等式結果的恒定性，我們通常對非負不等式兩側進行平方運算，

展開得

移項得

分解因式得

由式（4）可以很容易推出該題目的條件。

需要注意的是，在實際解題過程中，學生很少簡單運用探究式的正向解題方法，也較少單純使用逆向思維解題方法，一般是兩者結合使用。由此可見，將正向和逆向思維訓練結合起來，更有助于提升學生的思維能力。所以，數學教師在日常授課過程中要注重講解和應用逆推法。學生只有理解了逆推法的使用場合和常見模式，才能在做題時靈活切換正向思維和逆向思維。

三、反證法，證明假設失敗

反證法也是初中數學學習中常用的逆向思維方法之一。反證法解題的原則是不直接從題設推出結論，而是從結論的反面出發，假設所要證明的結論不成立，在這個假定的條件下進行一系列的求證或計算，最終得出一個矛盾的結論，并以此為條件否定假設的條件，從而證明所要證明的結論是正確的。所以，用反證法解答數學題，既容易也困難，學生只要找到相應的命題就可以解答該數學題，但如果對相應的數學知識不熟悉，則無法解題。命題的尋找范圍比較廣，可以是定理、定義或公式，也可以是生活中相矛盾的事情，或者是與定理相矛盾的式子等。

例如，求證：三角形的三個角中至少有一個角不大于60°。

反證法的步驟如下：題目中結論為三角形的三個角中至少有一個角不大于60°，假設三角形的三個角都大于60°，進行內角和的加法運算，∠A+∠B+∠C＞3×60°=180°。

三個內角的和大于180°，與內角和的定理矛盾，所以上述假設不成立，所以三角形中至少有一個角不大于60°。

反證法證明的要求較為嚴格，首先，必須理解“至多”“至少”概念，并能對其進行正確的否定；其次，必須有明確的推理特點，雖然否定結論的目的是得出矛盾，但是矛盾出現的時間和式樣是不確定的，所以使用反證法推理數學證明題，必須嚴格遵守推理的規則，進行有序和有據的推理，直到推出具體的矛盾，才能認為推理結束。

反證法推理的矛盾是多種多樣的，可以與題設全部矛盾，也可以部分矛盾，當然也可能是和已知的真命題矛盾等。相對其他逆推式算法，反證法具有更高的靈活性，對學生知識掌握程度提出了更高的要求。同時。反證法對學生思維的邏輯性和嚴謹性提出了更高的要求，學生只有完全掌握和熟悉定理、定義等內容，才能說理清楚、論證嚴謹，進而真正提高數學解題能力。

四、綜合法，學會執因索果

執因索果指的是從條件入手，逐步推導出所需要的結論，將其反映在解法上，通常稱為綜合法。這種方法的解題程序是從已知逐步推向未知，要求學生在實際計算分析過程中感受逆向思維的應用，逐步培養逆向思維，從而拓展學生的解題思路，提升學生的解題能力。

例如，已知有a和b兩個正數，a≠b且a+b=1，試證明

從已知條件進行分析，條件包含三個內容，分別是①a>0，b>0；②a≠b；③a+b=1。

對結論進行從左到右計算推導：

∵a和b都是正數，

∴a=b，此時

但是題目要求a≠b，所以

在該題目的論證計算過程中，學生既使用了正推法，又使用了逆推法，通過運用綜合性的解題方法完成題目的證明求解過程。

運用執因索果的逆向分析法，對學生的數學理解和應用能力提出了較高要求，不僅要求學生在解題過程中可以熟練利用題目中已知條件，還要求學生能夠靈活應用定理和公式等內容。

以上是筆者在日常教學中常用的四種數學解題方法，當然還有其他方法，如綜合例證法等。不管采用哪種解題方法，目的都是培養學生的逆向思維能力。在實際教學中，教師應要求學生在實際解題過程中靈活應用不同的方法，做到知其然并知其所以然，這樣才能使學生真正掌握多種解題方法，形成逆向思維，從而提升學生的思維品質，讓學生不僅能在數學解題中逆向思考，還能在其他課程中運用逆向思維進行深度學習，進而提高學生的綜合素養。