橋梁吊桿典型風致振動幅值響應質量阻尼效應研究

周 帥，羅桂軍，牛華偉，陳政清

（1.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082；2.中國建筑第五工程局有限公司，長沙 410004）

大跨度拱橋剛性橋梁吊桿等一類大長細比矩形截面鈍體橋梁構件，質量輕、阻尼小，易發典型的渦激共振和馳振等風致振動，兩者臨界風速相近時甚至可以引發耦合振動。耦合狀態下，桿件的風致振動幅值隨著風速的增加而不斷增大，在單一風速點呈現極限環限幅振動形態，風速-幅值響應曲線呈現線性增長趨勢，不出現渦激共振鎖定區間，也不在單一風速點下出現發散性馳振，氣動機理尚不明確，研究者稱為“軟馳振”[1-4]。

文獻[5-6]結合兩自由度尾流振子渦激力模型和準定常馳振力模型建立了“軟馳振”數學模型，根據耦合程度對風速-幅值響應曲線進行了分類，通過識別相關氣動參數，使數值計算結果與實測結合吻合較好。“軟馳振”響應風速-幅值曲線由兩個參數決定:耦合振動起振臨界風速U0、風速-幅值響應曲線線性斜率。歐洲抗風設計規范[7-8]對U0進行了建議，提出耦合振動發生的必要條件是渦激共振與馳振臨界風速比值范圍在0.7～1.5，文獻[9-10]的研究表明歐洲規范偏于不安全，該比值應大于4.5～8.5，耦合振動才能避免發生。文獻[11]通過調整風洞試驗節段模型剛度支撐形式，變化阻尼比，研究了不同Scruton數下“軟馳振”風速-幅值響應曲線形態，表明Scruton數大于50～60是消除耦合振動的必要條件。文獻[12]基于兩自由度Tamura尾流振子模型，修正氣動參數，提出了與試驗實測結果更為吻合的預測模型。Mannini等研究了風攻角和紊流對“軟馳振”的影響，提出3%左右低紊流會提升渦激共振與馳振的耦合振動。

Niu等提出了適用于矩形截面桿件“軟馳振”幅值估算的經驗公式，研究表明耦合振動狀態下響應曲線線性斜率是桿件截面寬高比（B/D）的函數，通過積累大量數據進行回歸分析提出了幅值估算經驗公式。文獻[13-15]研究表明質量、阻尼參數是影響渦激共振幅值響應的關鍵參數，影響不相互獨立，單參數變化質量、阻尼對幅值的影響程度不相同，兩者不能組成Scruton數對幅值響應進行評價，提出了Scruton數作為一個獨立參數的存在合理性質疑。文獻[16]研究表明Reynolds的不同可以導致幅值響應的不同，也是導致Sarpkaya等研究結論的原因，質量、阻尼參數可以組成Scruton數對幅值進行評價。

關于渦激共振與馳振的耦合振動（“軟馳振”），針對Reynolds數效應，獨立的質量、阻尼參數，以及組合的質量阻尼參數Scruton數的參數敏感性對比研究有待開展。為進一步研究“軟馳振”響應機理，總結更為合理的幅值估算經驗公式，本文以典型寬高比（B/D=1.2）矩形截面桿件節段模型，調整模型系統等效質量、等效剛度和阻尼，開展相同質量不同阻尼、相同阻尼不同質量、同一Scruton數不同質量、阻尼組合工況下的風洞試驗，實測風速-幅值響應曲線，對比研究質量、阻尼參數的影響。

1 理論模型

1.1 尾流振子模型

圓柱繞流尾流振子示意圖如圖1所示，繞流后圓柱體尾部可形成近似穩定形態上下擺動的旋渦，提供了可以與柱體振動相互影響的振子，其中旋渦的空氣質量為振子質量，旋渦上下擺動的流固耦合剪切剛度為振子剛度，簡化為兩自由度尾流振子渦激力力學模型，如圖2所示。圖中:U為來流風速；D為圓柱體直徑；L為尾流旋渦半寬度；H為尾流旋渦高度；G為尾流旋渦靜止空氣的重心；α為尾流振子的上下擺動角位移；I，K，C分別為尾流振子的扭轉質量、扭轉剛度以及氣動阻尼，建立的Birkhoff模型振動方程如式（1）所示[17]

圖1 尾流振子示意圖Fig.1 The diagram of wake oscillator

圖2 尾流振子力學模型Fig.2 The mechanical model of wake oscillator

針對二維圓柱，Tamura考慮振動周期內尾流振子長度的變化影響，提出了修正的Birkhoff兩自由度渦激共振數學模型如式（2）所示

式中:Y為結構無量綱位移響應；α為尾流振子的位移響應；n為質量比；η為結構機械阻尼比；v為無量綱流體速度；CD為圓柱阻力系數；f為Magnus效應氣動參數； ζ為氣動阻尼；S*=2πSt，St為Strouhal數；CL0為圓柱靜止狀態下的升力系數幅值[18-19]。根據準定常馳振理論可以推到得到氣動力如式（3）所示，Parkinson等的研究結論表明準定常馳振力的泰勒級數展開項考慮到第7階基本可滿足計算要求，并定義式（4）為準定常馳振力系數。

根據Tamura兩自由度尾流振子渦激力模型，結合準定常馳振自激力模型，組合形成渦激共振與馳振氣動力耦合的動力學模型如式（5）所示。

式中，A1，A2，A3，…為泰勒級數展開準定常馳振力多項式系數。耦合模型能定性地對結構渦激共振與馳振進行預測，根據兩者臨界風速的相近程度，識別出完全分離的渦激共振鎖定區間、發散性馳振以及耦合的“軟馳振”響應，無量綱風速-幅值響應曲線起振風速點、幅值響應等的識別精度取決于相關氣動參數的取值精度。

1.2 “軟馳振”響應曲線分類

根據渦激共振與馳振的耦合程度，可根據Tamura的研究結果，“軟馳振”風速-幅值響應曲線可以分為“耦合狀態”和“非耦合狀態”兩類，馳振與渦激共振臨界風速比值分別為1.06，1.49，2.15時實測響應曲線，如圖3所示。 圖3（a）、圖3（b）工況為“耦合狀態”，幅值隨著風速的增加逐步增大，響應曲線沒有出現限幅“鎖定區間”的渦激共振特征，單個風速下振幅時程曲線為等幅穩定狀態，也不出現發散性馳振，幅值的增長與風速的增大呈“線性關系”，可計算響應曲線斜率值來描述曲線特征。隨著馳振與渦激共振起振臨界風速比值進一步加大到2.15，圖3（c）工況表現為“非耦合狀態”，隨著風速的增加，幅值響應曲線出現了分離的限幅渦激共振“鎖定區間”和馳振響應。

圖3 Tamura&Shimada模型數值計算與試驗實測“軟馳振”響應對比Fig.3 The comparison of calculated and tested“soft galloping”response using Tamura&Shimada model

2 風洞試驗

2.1 模型及設置

風洞試驗矩形桿件節段模型尺寸為100 mm×120 mm×1 530 mm，截面寬高比B/D=1.2，模型風洞試驗安裝如圖4所示，節段模型測振風洞試驗均在均勻流場下進行。模型剛度系統由8根豎向安裝彈簧提供，通過更換彈簧實現系統剛度的調節。質量系統由節段模型本身質量、端板、連桿、彈簧折減質量以及配重組成，通過增減配重可以調節模型系統的等效質量。通過彈簧纏繞膠帶的方式可以有效增加模型系統固有阻尼，分別在模型測振風洞試驗前、后對系統阻尼進行識別，對比結果顯示阻尼基本相同，表明模型系統經過大幅風致振動后，阻尼穩定。

圖4 風洞試驗節段模型系統Fig.4 Wind tunnel tests used sectional model

測振風洞試驗采用加速度傳感器，安裝示意圖如圖5所示，分別在節段模型兩端水平連桿上表面迎風側、背風側安裝1#、2#、3#、5#共計4個加速度傳感器，采樣頻率500 Hz。節段模型系統可能出現如圖6所示豎向、扭轉、搖擺三種不同的風致振動形態，通過對4個加速度傳感器的信號處理可以進行振動形態識別和幅值響應處理。通過對節段模型系統扭轉剛度的調節，使本文研究的所有研究工況中消除了豎向以外的其他振動形態，通過對4個傳感器時程信號進行加權平均得到節段模型振動加速度響應，根據簡諧單頻的振動信號特征，可以很方便地由加速度振動信號得到位移響應信號。

圖5 節段模型傳感器安裝示意Fig.5 The indication of sensor installation on sectional model

圖6 節段模型潛在振動形態Fig.6 The potential vibration mode of sectional model

2.2 工況及參數

試驗研究工況及參數如表1所示。

表1 研究工況及參數Tab.1 The working condition of research and parameters

通過配重使節段模型系統每延米物理質量分為8.27 kg/m，10.53 kg/m，11.73 kg/m，16.08 kg/m共計4個不同等級，豎向彎曲等效阻尼比分為0.146%，0.200%，0.223%，0.284%，0.500%共計5個不同水平，通過質量、阻尼參數的組合實現A1～A20共計20個試驗工況，可以對比研究相同質量不同阻尼比、相同阻尼比不同質量工況組合下的風致振動響應。

Scruton數量值范圍12.4～82.5，其中Scruton數為24.1時，可以觀察到同一Scruton數不同質量、不同阻尼參數組合下的風振響應。通過協同調整節段模型系統等效質量、等效剛度，使工況A1～A20豎向彎曲固有頻率一致，對應渦激共振起振臨界風速Reynolds數相同，消除Reynolds數效應來研究質量、阻尼參數對“軟馳振”響應的影響。

3 結果及分析

3.1 耦合狀態

測振風洞試驗實測矩形桿件節段模型典型風致振動時程曲線（工況A1，來流風速U=3.7 m/s），如圖7所示，穩定風速作用下，模型基本為等幅振動狀態，有小幅“拍現象”，安裝在節段模型前后方、迎風背風側4個加速度傳感器實測時程曲線相位一致，表明模型的振動無扭轉和搖擺振型，為完全的豎向振動。實測時程曲線對應快速傅里葉變換頻譜分析，如圖8所示，振動卓越頻率2.93 Hz，與靜風狀態下實測豎向固有頻率一致，為單頻振動狀態。

圖7 典型工況時程Fig.7 The time history of typical working condition

圖8 典型工況頻譜Fig.8 The spectrum of typical working condition

通過調整、匹配模型系統等效質量和等效剛度，本文所有研究工況A1～A20靜風狀態下豎向振動固有頻率一致，均為2.93 Hz，對應渦激共振起振臨界風速Reynolds數Re=16 000。工況A1～A4為相同質量m=8.27 kg/m，不同阻尼比 ξ=0.146%，ξ=0.200%，ξ=0.223%，ξ=0.284%，對應Scruton數為12.4～24.1無量綱風速-幅值響應曲線對比如圖9（a）所示。圖中，無量綱風速U/fD，U為來流風速，f=2.93 Hz為振動卓越頻率，D=100 mm為矩形桿件迎風高度；無量綱振幅Y/D，Y為位移幅值響應，根據圖8所示時程曲線簡諧、單頻振動特征，由加速度信號獲得位移幅值響應。

從圖9（a）中可以看出，工況A1～A4無量綱風速-幅值響應曲線基本重合，無量綱起振臨界風速為7.5，對應Strouhal數為0.13，高于歐洲規范推薦值，起振后無量綱風速-幅值響應曲線呈現線性增長趨勢，斜率值為0.047。圖9（b）為對應的工況A5～A8，模型等效質量為m=10.53 kg/m，不同阻尼比ξ=0.146%，ξ=0.200%，ξ=0.223%，ξ=0.284%組合下，對應Scruton數15.8～30.6無量綱風速-幅值響應曲線，響應趨勢和特征與圖9（a）基本一致，所得斜率值0.051。從對比結果可以看出，所研究的截面寬高比1.2∶1矩形桿件節段模型系統在同一質量參數下，阻尼比由0.146%變化到0.284%（對應Scruton數變化范圍12.4～30.6）對“軟馳振”振動響應趨勢及斜率值量值基本無影響。

圖9 不同阻尼響應對比Fig.9 The comparison of responses on different damping ratio

圖10（a）為相同阻尼比、不同質量組合下風洞試驗實測模型振動響應對比。如圖10（a）所示，實測工況A4，A8，A12，A13阻尼比 ξ=0.146%，等效質量分別為m=12.66 kg/m，m=16.11 kg/m，m=17.95 kg/m，m=24.60 kg/m，對應Scruton數12.4～24.1無量綱風速-幅值響應曲線，四個工況響應曲線趨于重合，起振點無量綱風速7.5，斜率值為0.049。 圖10（b）所示工況A3，A7，A9阻尼比ξ=0.200%，等效質量m=12.66 kg/m，m=16.11 kg/m，m=17.95 kg/m所得響應曲線特征與圖10（a）基本一致，無量綱響應曲線斜率值為0.048。通過對比試驗結果可以看出，在同一阻尼水平下，模型系統等效質量由12.66 kg/m變化到24.60 kg/m，Scruton數范圍12.4～24.1，所得無量綱風速-幅值響應曲線起振風速點一致，起振后幅值響應斜率值相同。

圖10 不同質量響應對比Fig.10 The comparison of responses on different mass

圖11所示為同一Scruton數（24.1），不同質量、阻尼組合下的無量綱風速-幅值響應曲線對比。所得起振點無量綱風速7.5，起振后曲線斜率值為0.048，與圖9、圖10所得結果相同，響應曲線特征不隨質量、阻尼參數的組合變化而變化。研究表明，本文所研究的截面寬高比1.2矩形桿件節段模型，Scruton數范圍12.4～30.6，渦激共振與馳振耦合產生了“軟馳振”響應，相同質量不同阻尼比、相同阻尼比不同質量、相同Scruton數不同質量阻尼組合不同工況下所得響應曲線基本相同，無量綱位移-幅值響應曲線起振風速點為7.5，對應Strouhal數0.13，幅值響應曲線線性斜率基本相同，小幅度變化范圍0.047～0.051。定區間”，“鎖定區間”內風速-幅值響應曲線不隨單參數質量、阻尼量值的變化而變化，也不隨整體Scruton數大小的變化而變化，起振風速點和幅值曲線斜率值始終鎖定在一個量值，對于本文研究桿件，該“鎖定區間”為12.4～30.6。

圖11 不同質量阻尼響應對比（Sc=24.1）Fig.11 The comparison of different quality and dampe responses（Sc=24.1）

3.2 非耦合狀態

如表1所示，工況A1～A20中渦激共振與馳振非耦合狀態下的實測無量綱風速-幅值響應曲線對比，如圖12所示，非耦合狀態下的響應曲線主要表現為三種形態:完全分離的渦激共振鎖定區間和大幅馳振響應如工況A11，半分離的渦激共振鎖定區間和大幅馳振響應如工況A16、可忽略的渦激共振鎖定區間和大幅馳振響應如工況A18。

圖12 非耦合狀態下無量綱風速-幅值響應Fig.12 The amplitude response under dimensionless wind speed in an uncoupled state

Mannini等的研究表明馳振與渦激共振臨界風速比值4.5～8.5，Scruton數50～60是避免耦合振動發生的必要條件，本文研究表明預測馳振與渦激共振臨界臨界風速比值范圍3.2～9.7，對應Scruton數26.8～82.5的研究工況中即可將渦激共振與馳振分離，產生非耦合振動。在完全分離和半分離狀態中，馳振響應可表現為單個風速點下的發散性振動和極限環限幅振動兩類。其中，極限環振動狀態中高風速作用下所得馳振響應無量綱風速-幅值響應斜率值范圍0.025～0.031，大幅低于耦合狀態下的0.047～0.051，可能原因歸結于耦合作用的消失使極限環振動狀態中缺乏了渦激氣動力的貢獻，能量積累乏力，幅值響應降低。

值得注意的是，所研究試驗工況中耦合狀態下“軟馳振”響應對應Scruton數為12.4～30.6，非耦合狀態下Scruton數26.8～82.5，存在一個26.8～30.6的Scruton數重疊區間，可以認為是耦合狀態轉變到的非耦合狀態的Scruton數“過渡區間”。

3.3 修正幅值估算經驗公式

Niu等針對“軟馳振”響應起振臨界風速大致可由Strouhal定理確定、起振后無量綱響應幅值隨著無量綱風速線性增長的特征，識別了起振風速點U0和線性增長斜率兩個關鍵參數，進行了數值研究和回歸分析，如圖13所示，提出了幅值估算經驗公式。研究表明經驗公式關鍵參數無量綱風速-幅值曲線斜率值是矩形截面桿件寬高比（B/D）的函數，并基于大量的實測數據進行了多項式擬合得到了相關的數學表達式。

圖13 響應斜率值與矩形截面寬高比擬合Fig.13 The fitting of response slope value and ratio of width to height of rectangular section

本文基于截面寬高比1.2的矩形截面桿件風洞試驗實測“軟馳振”響應數據，對原有經驗公式回歸分析數據庫進行了補充，通過多項式擬合提出了修正的幅值估算經驗公式如式（6）所示

式中:Y/D為無量綱風速；Ur=U/（fD）為無量綱來流風速；U0=0.9/St為基于截面Strouhal數歸一化的“軟馳振”起振風速點；R=B/D為矩形截面寬高比。

4 結 論

（1）基于一組寬高比1.2∶1矩形截面桿件節段模型開展風風洞試驗，研究了同一Reynolds數下，質量、阻尼的單參數，以及質量參數組合Scruton數對渦激共振與馳振耦合“軟馳振”響應的影響，研究表明，耦合狀態下振動響應與質量、阻尼參數無關。

（2）研究表明存在一個Scruton數“鎖定區間”，使在“鎖定區間”內“軟馳振”無量綱風速-幅值響應斜率值Slope與單一質量、阻尼參數的變化無關，也與整體Scruton數大小的變化無關，所研究的寬高比1.2∶1矩形截面桿件Scruton數“鎖定區間”為12.4～30.6。

（3）渦激共振與馳振的臨界風速比值由Scruton決定，比值的大小決定了耦合“軟馳振”的程度，研究表明存在一個使模型振動由耦合狀態向非耦合狀態轉變的Scruton數“過渡區間”，所研究的寬高比1.2∶1矩形截面桿件既有實測數據顯示Scruton數“過渡區間”為26.8～30.6。

（4）基于寬高比1.2∶1矩形截面桿件實測“軟馳振”響應數據，提出了修正的幅值估算經驗公式，可以根據桿件本身的截面寬高比、Scruton數提前對任意風速下的幅值響應進行預測，為相關工程設計提供參考。