可調泊松比圓弧星型結構的參數化設計

劉海濤 王彥斌 張爭艷

1.河北工業大學機械工程學院，天津，300401 2.河北工業大學國家技術創新方法與實施工具工程技術研究中心，天津，300401

0 引言

力學超材料[1-2]是從各種特殊的微觀結構中獲得獨特力學特性的一類人工材料。與傳統的材料科學不同，力學超材料的設計方法從微觀結構出發獲得傳統材料不具有的力學性能，例如低密度兼顧高剛度和高強度[3]、負泊松比[4]、負熱膨脹[5]和壓扭轉換[6]等特殊的力學特性。雖然現有的力學超材料難以通過傳統的制造工藝制備，但3D打印技術讓研究者可以在不考慮工藝和可制造性的前提下進行力學超材料的設計。

負泊松比力學超材料在受到壓縮時截面收縮。近年來，研究者設計出了許多類型的負泊松比結構：內凹六邊形結構[7]、手性結構[8]、反手性結構[9]、雙箭頭結構[10]等。WANG等[11]提出了一種通過嵌鎖搭接得到三維內凹六邊形的方法，并通過有限元仿真和實驗驗證了方法的正確性。

星型結構作為一種典型的負泊松比力學超材料已經被廣泛研究。THEOCARIS等[12]回顧了數值均勻化方法，并將其用于星型結構。FU等[13]提出一種將菱形構型與傳統構型相結合的結構。為解決星型結構尖角導致的應力集中和難以制造等問題，WANG等[14]提出一種光滑花瓣型結構，通過等幾何形狀優化得到了提高連接順滑度、改善結構性能的方法。AI等[15-16]研究了具有可變力學性能的雙材料星型結構，設計了3種新的星型結構和1種具有可變熱力學性能的新型三維超材料。顏芳芳等[17]設計出負泊松比柔性蜂窩結構，并將其應用到變體機翼。沈建邦等[18]研究了具有負泊松比效應可變弧角曲邊內凹蜂窩結構的力學性能。

為了防止出現應力集中現象，筆者設計出一種具有可調泊松比的圓弧星型結構，采用能量法對可調泊松比星型結構進行理論計算，推導出該結構在不同幾何參數下的泊松比。有限元仿真和實驗驗證了理論的正確性。

1 結構設計

可調泊松比圓弧星型結構如圖1a所示，其單胞的幾何參數見圖1b，其中，h為單胞高度的1/2，ah為圓弧桿圓心到垂直對稱軸或水平對稱軸的距離，bh為直桿起始點到單胞中心的距離，w為桿的寬度。h表征單胞的大小，系數a、b表征單胞的形狀，是影響結構泊松比的主要因素。受到幾何構成的限制，a、b的取值范圍分別為是[0.5, 1]和[0, 1]。

(a)陣列圖 (b)幾何尺寸

通過幾何計算得到派生的角度θ，如圖2所示，系數a、b和角度θ的關系為

圖2 幾何尺寸與角度θ的關系

(1)

根據三角函數變換得到sinθ與系數a、b的關系式：

[a2+(b-a)2]sin2θ-2a(1-a)sinθ-

(b-a)2+(1-a)2=0

(2)

求解式(2)可得角度θ(取值范圍為[0, π/2])：

2 理論分析

應用能量方法分析結構的變形機制，基于單胞的對稱性，對該結構的1/4進行分析。細長桿受力時，結構變形主要由桿件彎矩引起，正應力和切應力引起的變形相對較小。基于文獻[18-20]簡化的理論推導方法，本文在理論推導過程中忽略正應力和切應力對桿件的影響。如圖3a所示，對節點施加集中力FN時，由于結構的對稱性，節點A和節點D不會旋轉。對1/4單胞進行受力分析時，A點處的截面受到大小為FN/2的集中力和大小未知的彎矩M，見圖3b。

(a)整體結構受載 (b)1/4結構受載

為了描述桿AB、CD和BC的彎矩，建立圖3a所示的以A和D為原點的直角坐標系和以BC段弧線圓心E為原點的極坐標系，則段桿AB、BC、CD的彎矩分別為

MAB(y)=FNy/2-M

(3)

MBC(φ)=FNh[a-(1-a)sinφ]/2-M

(4)

MCD(x)=FN(bh+xtanθ)/2-M

(5)

其中，y和x的取值范圍是[0,h1]，h1=ha-h(1-a)sinθ；角度φ的取值范圍是[-θ,θ+π/2]。

節點A在集中力FN作用下的旋轉角是0，基于該邊界條件可得彎矩M的大小。施加大小為1的單位載荷，如圖4a所示，可以得到節點A的旋轉角度的表達式且轉角為零：

(6)

式中，E為材料的彈性模量；I為桿件的抗彎剛度。

求解式(6)可得

FNh(1-a)(sinθ+cosθ)]=

(7)

解得

M={FNh1[(1+tanθ)h1+2bh]/cosθ+

2FNh2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(8)

進一步地，可得節點A、D之間的相對位移。如圖4b、圖4c所示，單獨作用大小為1的單位力(一側結構受1/2的單位載荷作用)以計算兩節點在Y和X方向上的相對位移ΔYY和ΔYX。其中，單位力作用時的彎矩為

2018年11月8日，中國郵政中歐班列鐵路運郵國際小包業務已經正式開通，這預示著國際郵件可以搭載中歐班列這趟“順風車”直接抵達歐洲腹地，實現歐洲23國“自由行”。據了解，中歐班列鐵路運郵目前開通兩條線路，分別為重慶線和義烏線。重慶線中郵國際小包開辦城市為重慶、廣州、深圳、東莞四地，義烏線中郵國際小包開辦城市則為義烏和杭州兩地。兩條線路均可通達西班牙、荷蘭、英國、意大利、瑞典、比利時、法國、捷克、德國、挪威、白俄羅斯、瑞士、波蘭、斯洛伐克、芬蘭、立陶宛、丹麥、愛爾蘭、葡萄牙、奧地利、烏克蘭、拉脫維亞和匈牙利等23個歐洲主要國家。

(a)承受單位彎矩 (b)承受Y向單位力

2h2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(9)

在Y方向施加單位力時，各桿的彎矩為

(10)

(11)

(12)

在X方向施加單位力時，各桿的彎矩為

(13)

(14)

(15)

最終，可得A點、D點Y方向和X方向的相對位移ΔYY和ΔYX：

(16)

(17)

表示相對位移ΔYY、ΔYX大小的量綱一系數ΔYYEI/(FNh3)和ΔYXEI/(FNh3)隨系數a和b的變化如圖5、圖6所示。系數a取值為1且系數b取值約為0.55時的位移ΔYY最小，即等效彈性模量最大。系數a取最小值、系數b=0時，ΔYY最大。

圖5 受力時ΔYYEI/(FNh3)隨系數a和b的變化

圖6 受力時ΔYXEI/(FNh3)隨系數a和b的變化

受到Y方向載荷時，X方向位移ΔYX受系數a的影響較小；隨著系數b的增大，ΔYX明顯減小，且在系數b大于0.55時ΔYX為正值，即泊松比為負，此時結構具有負泊松比特性。

二維結構泊松比的計算公式為

(18)

式中，Lx、Ly分別為單胞結構在X、Y方向的寬度，Lx=Ly。

將數據代入式(18)得到作用集中力下結構泊松比與系數a和b的關系，如圖7所示。系數a增大或系數b減小時，結構的泊松比都會減小；a=1，b=0時，結構泊松比達到理論上的最小值-1。

圖7 結構泊松比ν隨系數a和b的變化

3 有限元模擬

為了驗證理論結果的正確性，開展了一系列有限元仿真。選用的材料為光敏樹脂，其彈性模量E=2.65 GPa，泊松比ν0= 0.4。模擬不考慮材料自重、制造缺陷和預應力的影響。模擬過程中，單胞高度h(h=30 mm)和桿件寬度w(w=1 mm)不變。有限元仿真的邊界條件為Y方向下端固定，上端施加0.6 mm位移(1%的拉伸應變)。網格類型為二次四面體實體單元C3D10。a=0.5且桿AB與桿CD平行時，網格精度對結構泊松比的影響規律如圖8所示，可以看出，網格尺寸為0.25 mm時，結構泊松比的模擬結果趨于穩定，故網格尺寸設置為桿件寬度的1/4，即0.25 mm可以保證有限元仿真的精度。

圖8 網格尺寸對結構泊松比ν模擬結果的影響

圖9 結構泊松比ν隨系數b的變化(a=1)

圖10 結構泊松比ν隨系數a的變化(桿AB與桿CD平行)

如圖9、圖10所示，有限元結果與理論結果吻合較好。系數a趨于1且b=0時，結構泊松比趨于-1。值得注意的是，在直桿平行的情況下(圖10)，系數a接近1時，泊松比接近-1，且圓弧的設計避免了尖角較為嚴重的桿件重疊現象，這意味著較小的圓弧可以在不明顯削弱負泊松比效應的同時提高此結構的可制造性。

實際工程應用對超材料泊松比有不同的需求，例如在材料受到軸向壓縮時，橫截面不變即零泊松比。對此結構來說，可以得到特定泊松比的系數a和b組合并不是唯一的。不同結構泊松比分的系數a和b的曲線見圖11。

圖11 不同泊松比的系數a和b的組合曲線

4 實驗分析

為了驗證理論結果和有限元仿真的正確性，采用3D打印技術制備了一組圓弧星型結構試件。試件由上海聯泰科技股份有限公司生產3D打印機(Lite 600)進行制備，材料為光敏樹脂(DSM IMAGE800)。圖12所示為高度30 mm、寬度1.5 mm，a為0.5、0.6、0.7、0.8、0.9的試件(從左往右)。測定泊松比時，將試件在Y方向上的一端固定，另一端加載以產生一定位移，測量受載前后Y、X方向結構寬度之差，得到泊松比的實驗值。實驗所得數據點與相應的理論結果和有限元仿真結果如圖13所示。理論分析、有限元分析和實驗結果一致性較好，說明了理論方法和有限元仿真的正確性。

圖12 兩直桿平行的3D打印試件

圖13 結構泊松比ν隨系數a的變化的實驗驗證(桿AB與桿CD平行)

5 結論

(1)利用能量法推導出結構在Y方向和X方向的相對位移，并用有限元軟件進行數值模擬，得到不同幾何參數下的結構泊松比，驗證了理論推導的正確性。

(2)采用半徑較小的圓弧桿代替傳統星型結構的尖角時，結構的負泊松比效應小幅減弱，以圓弧代替尖角的設計提高了結構的可制造性。

(3)基于特定的泊松比，可以得到一系列的幾何參數組合，在此基礎上根據實際需求擇優選取幾何參數以滿足工程需要。