采用自適應滑模變結構控制的精沖機雙驅動協調控制系統

劉艷雄 王根聚華 林趙新浩

1.武漢理工大學現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，武漢，4300702.汽車零部件技術湖北省協同創新中心，武漢，430070

0 引言

精沖技術作為一種先進的塑性成形技術，在汽車、機械、軍工等領域廣泛應用。由于精沖成形需要提供主沖裁力、壓邊力和反頂力，因此精沖工藝需要有專用裝備。現有的精沖成形裝備主要為液壓式，即主傳動運動由液壓系統驅動，適用于中厚板的復合精沖成形。精沖市場的日益擴大對精沖的生產效率提出了越來越高的要求，而液壓精沖機不能滿足高速精沖對沖裁頻次的要求。近年來，瑞士Feintool公司率先推出的機械伺服驅動高速精沖機最大成形載荷為2.5 MN，沖壓頻次可以達到200次/min。

我國在高速精沖領域的研究尚處于起步階段，設計的精沖機主要是單自由度的，即由一個電機通過曲柄肘桿機構帶動滑塊運動。單電機驅動的精沖機機械增益較小，滑塊急回特性較差，只能用于一些小工件的沖壓生產。二自由度高速精沖機傳動機構較復雜，如果2個伺服電機的運動不同步，則可能發生運動干涉，降低精沖機沖裁質量。有學者針對伺服電機控制系統非線性、強耦合的特點，采用滑模變結構控制來調節電機轉速，但滑模變結構控制在構造切換函數的同時會產生抖振效應。因此，本文采用模糊算法對滑模變結構的切換增益進行優化，實現切換增益的自適應，有效降低了滑模變結構控制抖振效應。

1 精沖機驅動系統運動分析

1.1 精沖機的傳動結構

圖1所示的二自由度高速精沖機結構由曲柄OA、DC，連桿AB、CB，肘桿BE，以及滑塊E組成。工作過程中，曲柄OA順時針旋轉，曲柄DC逆時針旋轉。沖壓過程中，曲柄OA提供沖裁力，曲柄DC協調滑塊運動速度?；瑝K上行和回程過程中，曲柄DC帶動滑塊快速運行從而縮短空載階段運行時間，提高沖裁效率。

圖1 精沖機主傳動系統結構[3]

1.2 精沖機的運動學模型

利用閉環矢量方程法對封閉結構OABCD和封閉結構OABE建立如下閉環矢量方程[3]：

(1)

式中，a為O、D之間的水平距離；b為O、D之間的垂直距離；L1、L2、L3分別為連桿1、連桿2和連桿3的長度；R1、R2分別為曲柄OA、DC的長度；S為滑塊的位移；α1為曲柄OA的角位移，由伺服電機1輸出轉角經過減速機構確定；α2為曲柄DC的角位移，由伺服電機2輸出轉角經過減速機構確定；θ1、θ2、θ3分別為連桿1、連桿2、連桿3的角位移。

將式(1)沿著X軸、Y軸正交分解可得

(2)

確定α1和α2后，可解出未知量θ1、θ2、θ3、S。由裝配關系可得各桿件的角位移和滑塊的位移：

(3)

各桿件的角速度和滑塊的速度：

(4)

式中，ω1、ω2、ω3分別為連桿1、連桿2、連桿3的角速度；ωα1、ωα2分別為曲柄OA、曲柄DC的角速度；v為滑塊速度。

1.3 伺服電機的運動學模型

為保證每個電機在運行過程中不出現加速度和速度的突變，減小對滑塊的沖擊和振動，采用三角函數作為加減速函數使速度曲線柔性過渡[1]。

曲柄OA的轉速為

ω1(t)=

曲柄DC的轉速為

ω2(t)=

式中，ω11、ω21分別為曲柄OA、DC加速后勻速段的速度；ω12、ω22分別為曲柄OA、DC減速后勻速段的速度；t11、t21分別為曲柄OA、DC加速后勻速段的保持時間；t12、t22分別為曲柄OA、DC減速后勻速段的保持時間。

1.4 精沖機雙伺服驅動協同控制策略

針對雙伺服電機聯合驅動的精沖機，本文提出如圖2所示的控制策略來實現精沖機滑塊位移和速度的柔性變化，其中，n*為系統給定的輸入轉速，n1、n2分別為伺服電機1和伺服電機2的輸出轉速，e1、e2分別為伺服電機1和伺服電機2輸入轉速與輸出轉速之間的差值，TL為干擾信號。

圖2 精沖機雙伺服驅動協同控制策略

由于傳動系統轉動慣量的周期性波動以及負載干擾的影響，精沖機在運行過程中必然產生速度和位移的跟蹤誤差，因而每個周期的實際運動會偏離預先設定的運動[2]。這種偏差可能對雙電機運動產生干涉，通過構建自適應滑模控制器，利用位置傳感器和速度傳感器的反饋，實現對位置偏差和速度偏差的動態調節，保證雙電機驅動過程中的協調同步[3-4]。

3 自適應滑模變結構控制器設計

3.1 滑模變結構控制規律設計

由永磁同步電機磁場定向控制理論可知伺服電機的動力學模型：

(5)

Te=ktIqkt=1.5npφ

式中，J為傳動系統折算到電機輸出軸上的等效轉動慣量；kt為伺服電機轉矩常量；TL為轉軸上承受的負載轉矩；B為伺服電機黏滯阻尼系數；np為伺服電機極對數；θr為電機轉角，是t的函數；φ為每相繞組的匝鏈永磁磁鏈值；Iq為伺服電機交軸電流。

精沖機伺服電機的額定轉矩較大，由黏滯阻尼產生的摩擦力矩可以忽略不計[5]。本文在分析中將負載轉矩波動和摩擦力矩統一視為系統擾動因素，為使該控制系統更具一般性，選擇正態分布為擾動作用的擬合函數。令

則式(5)變為

(6)

取e=θr-θ，則切換函數s=de/dt+ce，其中，e為系統給定角位移和伺服電機實際角位移之間的誤差，c為常數。對切換函數s求導，有

系統處于任意狀態時，采用指數趨近方式使系統快速趨近滑模面，則有

式中，ζ為常數且ζ>0；k為指數趨近律趨近系數。

為保證控制作用能完全消除擾動影響，取

K(t)=max|d(t)|+Ω

其中，K(t)為滑?？刂破髑袚Q增益，常量Ω>0，則滑?？刂破鬏敵鰹?/p>

為保證控制器輸出收斂，下面對其穩定性進行分析。取拉普諾夫函數V=s2/2，則

s(-ζsgns-ks)≤-ζ|s|-ks2=-kV/2-ζ|s|≤0

由拉普諾夫不等式及滑模存在條件可知該控制器收斂。

3.2 自適應滑模變結構控制器的設計

滑?？刂频南到y結構不是固定的，可依照系統位移偏差及其導數等狀態變量的變化而動態調整，從而迫使系統按照預定設計的滑動模態狀態軌跡運動，本文將預先設計的滑動模態狀態軌跡所在的平面稱為滑模面[6-7]。由于切換增益K(t)的存在，當系統由任意狀態接近滑模面時，切換增益不能變化，導致系統在接近滑模面時不能嚴格沿著滑模面向平衡點運動，而是在滑模面兩側來回穿梭，造成系統抖振[8]。

抖振對系統穩定運行是一個巨大挑戰，本文基于模糊控制理論，利用模糊逼近原則對滑模變結構切換增益K(t)進行補償，從而實現滑模變結構的自適應。

要保證系統在擾動作用下快速運動到滑模面，K(t)必須消除擾動影響，由滑模存在條件sds/dt<0設計模糊推理規則。定義系統輸入、輸出的模糊集：

F={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}

ΔK={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}

式中，NB表示負大；NM表示負中；NS表示負??；ZO表示零；PS表示正??；PM表示正中；PB表示正大。

考慮到滑模存在性條件，設定模糊推理原則：

如果F>0，則K(t)增大。

如果F<0，則K(t)減小。

設模糊推理規則為：

R1: ifFis PB then ΔKis PB

R2: ifFis PM then ΔKis PM

R3: ifFis PS then ΔKis PS

R4: ifFis ZO then ΔKis ZO

R5: ifFis NS then ΔKis NS

R6: ifFis NM then ΔKis NM

R7: ifFis NB then ΔKis NB

為了減小穩態誤差，采用積分法對ΔK上界進行預估，得到K(t)的上界預估值：

式中，G為積分算子，一般由經驗確定。

得到自適應滑模變結構控制規律：

(7)

4 仿真實驗與結果分析

4.1 指數趨近參數分析

自適應滑模變結構控制規律中的指數趨近項ds/dt=-ks對系統從任意狀態向滑模面的運動過程有很大影響，指數趨近參數k越大，系統從任意狀態向滑動模態運動的速度越高，調整時間越短。過大的k可能會導致系統在接近滑動模態時產生較大的抖振，因此需要對k進行科學判定[9]。

設伺服電機1的轉矩常量kt1=12.66 N·m/A，極對數np1=12，電機轉動慣量J1=0.0298 kg·m2，最大角速度為20π/3 rad/s，最大角加速度為500π/3 rad/s2。伺服電機2的轉矩常量kt2=3.18 N·m/A，極對數np2=12，電機轉動慣量J1=0.0211 kg·m2，最大角速度為 10π rad/s，最大角加速度為 1000π/3 rad/s2。

通過MATLAB/Simulink搭建控制模型，采用式(7)的控制規律，指令信號θr=sin 2πt，取c=150，G=400，不同k的仿真結果如圖3所示，可知，隨著k的增大，對應的相軌跡趨近平衡點的時間縮短。為在提升趨近速率的同時降低滑模抖振的影響，選擇k=20。

圖3 不同k的趨近律趨近滑模面的示意圖

4.2 自適應滑模變結構控制策略仿真分析

圖4 傳統滑模變結構控制器的輸出

圖5 自適應滑模變結構控制器的輸出

按照表1所示的電機參數，在多體動力學軟件Adams中建立精沖機動力學模型，并將其導入MATLAB進行聯合仿真。以沖裁8 mm板料為例進行仿真分析，得到自適應滑模變結構控制器作用下的伺服電機轉矩、曲柄轉速，以及滑塊的位移和速度，如圖6～圖9所示。

表1 電機主要技術參數

圖6 不帶負載的伺服電機轉矩曲線

圖7 雙曲柄轉速曲線

圖8 滑塊位移曲線

圖9 滑塊速度曲線

由圖7可以看出，精沖機運動過程中，主電機最高轉速為 20π/3 rad/s，副電機最高轉速為10π rad/s，且高低速之間的加減速函數采用三角函數曲線進行柔性過渡，以符合轉速設計要求。由圖8、圖9可以看出，精沖機在運行過程中，滑塊可以實現快速向上合模以及回程運動。在沖裁階段則保持勻低速運行，保證沖裁質量。

由圖6、圖10可以看出，空載工況下，主電機最大轉矩為 2400 N·m，副電機最大轉矩為 3300 N·m。主副電機的轉矩峰值均出現在滑塊運動反向時，這是因為滑塊及傳動系統慣性導致負載轉矩產生較大突變，使電機輸出轉矩發生突變。負載工況下，主電機提供沖裁力，其峰值轉矩為16 000 N·m，副電機協調滑塊轉速，實現急回運動，其峰值轉矩為2900 N·m。主副電機的轉矩峰值出現在沖裁階段，且主電機輸出轉矩隨沖裁時間的延長而不斷減小，表明板料對滑塊的阻力隨著沖裁深度的增大而不斷減小。

圖10 伺服電機轉矩(負載3200 kN)

4.3 基于傳動系統桿系剛柔耦合的動力學建模

經典的系統多體動力學中，為簡化機械結構受力，建模時一般將構件看成剛體，即構件在受到外力作用時不考慮其彈性變形的影響[11]。對于運動速度較低的沖壓機，在動力學分析中將其機械構件簡化為剛體來處理基本可滿足分析要求。高速機械式精沖機的各構件運動較快，會產生較大的系統慣性力，采用剛體建模無法滿足控制精度的要求。將傳動系統構件由剛體轉換成彈性體[12]，分析精沖機主傳動系統在自適應滑模變結構控制器作用下的運動情況。

傳動系統中彈性桿受力如圖11所示，設彈性桿兩端節點分別為A1、B1，桿長為L，兩節點處的縱向位移分別為u1(t)、u2(t)，兩節點處所受外力分別為FA1(t)、FB1(t)，u(x,t)為任意截面x處的縱向位移。令

圖11 彈性桿受力示意圖

u(x,t)=c0+c1x

(8)

其中，c0、c1為常數，邊界條件為u(0,t)=u1(t)，u(L,t)=u2(t)。將邊界條件代入u(x,t)，可得c0、c1。將式(8)寫成

u(x,t)=c0+φ1(x)u1(t)+φ2(x)u2(t)

(9)

其中，φ1(x)、φ2(x)為彈性桿的縱向振動單元型函數，令y=x/L，則有φ1(x)=1-y，φ2(x)=y。

由理論力學中的勢能公式可得彈性桿單元的勢能：

式中，E為柔性桿彈性模量；A為桿單元截面積；k為單元剛度矩陣。

彈性桿單元的動能：

(10)

式中，F為廣義力矩陣，F=[FA1(t)FB1(t)]T。

將所求的m、k代入式(9)，可得

(11)

根據彈性力學相關理論對柔性桿連接的上下鉸鏈及機體處進行動力學分析，可得上鉸鏈動力學方程：

(12)

下鉸鏈動力學方程：

(13)

機體動力學方程：

(k1+k2)x3(t)-k1x2(t)=0

(14)

其中，F′1(t)、F′2(t)分別為彈性桿對上下鉸鏈處的作用力;h1、h2為與彈性材料力學性能有關的常數。彈性桿與桿外系統之間的邊界條件為

聯立式(10)～式(13)可得廣義力的矩陣形式：

式中，M為系統的質量矩陣；K為系統的剛度矩陣；C為系統的阻尼矩陣。

4.4 基于傳動系統桿系剛柔耦合的仿真分析

機械式高速精沖機的兩曲柄較短，受力變形相對較小；連桿1～3較長，柔性較大，故將其作為柔性桿處理，設置彈性模量E=208 GPa，泊松比ν=0.28。多體動力學仿真軟件Adams中得到的剛柔耦合傳統系統結構模型如圖12所示。

圖12 主傳動系統剛柔耦合模型

在Adams中對上述模型添加相關約束和驅動后，導入MATLAB中與自適應滑模變結構控制系統進行聯合仿真，得到負載3200 kN的剛柔耦合模型下的滑塊位移、滑塊速度、以及伺服電機轉矩變化曲線。

由圖13可以看出，將精沖機機械傳動系統視為剛體模型和剛柔耦合模型的滑塊位移曲線形態基本一致。剛體模型的滑塊最大位移為68.75 mm，剛柔耦合模型的滑塊最大位移為70.35 mm，這可能是因為滑塊在臨近下死點時的加速度較大，系統結構所受的慣性力使連桿1～3發生了一定彈性變形。而在精沖機沖裁階段，剛柔耦合模型的滑塊位移比剛體模型的滑塊位移小0.3 mm，且隨著沖裁厚度的加大，二者位移差值減小，說明剛柔耦合模型在沖裁階段受到板料的阻力作用，連桿1～3發生了彈性變形，且隨著沖裁阻力的減小，其彈性變形逐步減小。

圖13 滑塊位移曲線

由圖14可以看出，將精沖機傳統系統簡化為剛體模型的滑塊速度曲線形態和剛柔耦合模型滑塊速度曲線形態基本一致，但剛柔耦合模型下的滑塊速度出現很多波動，這可能是因為滑塊在加速初期的加速度較大，產生較大的往復慣性力，連桿1～3發生彈性變形，導致滑塊速度波動較大?；瑝K在空程階段速度的速度波動小于沖裁階段的速度波動，說明滑塊在沖裁階段受到板料阻力，柔性桿因彈性變形產生的加速度與滑塊速度方向相反并對滑塊速度有一定影響。

圖14 滑塊速度曲線

由圖15可以看出，在空程階段，剛體模型與剛柔耦合模型的伺服電機1轉矩曲線基本相同；在沖裁階段，剛柔耦合模型的最大轉矩比剛體模型的最大轉矩大300 N·m，且隨沖裁時間的延長，二者之間的差值逐步減小。這是因為在空程階段，滑塊沒有受到阻力作用，傳動系統中的連桿幾乎不發生彈性變形。沖裁開始時，滑塊受到較大的板料阻力，連桿1～3發生彈性變形，從而產生較大的軸向力，伺服電機1負載轉矩增大。隨著沖裁深度增大，板料對滑塊運動的阻力減小，連桿的變形也逐漸減小，導致桿系的軸向力逐漸減小，伺服電機1負載轉矩同步減小并逐漸恢復至連桿變形前的狀態。

圖15 伺服電機1轉矩曲線

由圖16可以看出，在空程階段，剛體模型和剛柔耦合模型的伺服電機2轉矩曲線基本一致，證明此時連桿1～3的彈性變形較小，對伺服電機2運行的影響較小?；瑝K開始沖裁時，在板料阻力作用下，剛柔耦合模型中的連桿1～3發生彈性變形，伺服電機2的負載轉矩相對于剛體模型增大了80 N·m，且隨著沖裁深度增大，負載轉矩逐漸減小，表明隨著沖裁深度加大，板料對滑塊阻力減小，柔性桿彈性變形逐漸減小。

圖16 伺服電機2轉矩曲線

以上分析表明，自適應滑模變結構控制器在保證變結構控制提升非線性系統控制魯棒性、快速響應性能的同時，可以有效抑制滑模變結構控制產生的抖振?？紤]到高速精沖機工作時的傳動系統構件可能發生彈性變形，為更切合高速精沖機的實際運行工況，在剛體動力學模型的基礎上建立主傳動系統的剛柔耦合模型，將Adams建立的精沖機模型和MATLAB建立的控制器進行聯合仿真，發現該控制器均可有效協調二自由度高速精沖機2個伺服電機的協調運轉，實現了主電機沖裁階段提供沖壓力、副電機空程階段滑塊快速合模及回程的設計需求。

5 結論

針對雙伺服驅動的機械式高速精沖機，提出了一種自適應滑模變結構控制器來解決雙伺服電機運動過程中的協調問題。仿真結果表明，該控制器可以實現滑模切換增益的自適應，在保證魯棒性的同時有效降低滑模變結構控制帶來的抖振。壓力機建模過程中，將傳動系統設為剛體可能會產生誤差，為切合高速精沖機的實際運行工況，在剛體動力學模型的基礎上建立了主傳動系統的剛柔耦合模型，Adams/MATLAB聯合仿真發現，無論主傳動系統為剛體模型還是剛柔耦合模型，該控制器均能使主電機在沖裁階段提供沖裁力，使副電機滿足滑塊速度的設計需求，保證精沖機主傳動系統高效工作。