雙級驅動隔振系統反共振頻率控制器設計與驗證

付 源，李樹森，劉九慶*，趙 勃

（1.東北林業大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040；2.大慶油田有限責任公司采氣分公司，黑龍江 大慶 163000；3.哈爾濱工業大學 超精密儀器技術及智能化工業和信息化部重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080）

1 引 言

隨著超精密裝備精度等級的不斷提升，環境微振動對裝備精度的影響問題逐漸凸顯，深入研究隔微振技術具有重要的科學意義和實用價值。此外，半導體制造［1-2］、超精密測量［3-5］、超精密加工［6-10］、航空航天［11-12］等領域對超低振動環境保障的需求也十分迫切。在半導體制造業中，運動控制前通常采用掃頻法獲得被控對象的精確動態模型。而掃頻時產生的慣性力作用在平臺基座上，相當于隨頻率變化的擾動力作用在整個系統上，直接影響光學系統測量精度，進而導致模型精度差。現有隔振器不能對頻率變化的擾動進行有效隔離，特別是對0 Hz和固有頻率之間的振動信號更加難以有效抑制。因此，有必要提出新的隔振控制方法，以滿足系統對變頻率擾動信號抑制的要求。

彈簧等被動隔振系統具有結構簡單、易于實現等優點。然而，由于彈簧剛度不能無限小的限制，被動隔振系統無法實現超低頻隔振。因此提出了主動隔振系統。主動隔振系統由傳感器、交流執行器、控制系統和被動隔振元件組成。與被動隔振系統相比，主動隔振系統可以根據隔振對象靈活調整系統參數。因此，主動隔振系統具有適應性強、隔振頻率低、重量輕等優點，成為隔振技術的研究熱點［13-15］。主動隔振系統分為主動減振器和半主動減振器。半主動減振器通過安裝調諧動態減振器，通過調整主系統的固有頻率進行振動隔離，但隔振頻帶較窄，無法適應現有超精密裝備寬頻帶隔振的需求。主動減振器能夠充分發揮執行器和控制器的作用，根據環境振動及負載直接擾動頻率和幅值進行動態參數調節，在寬頻帶范圍內充分發揮減振的作用。

變剛度技術是抑制超精密裝備掃頻過程中產生慣性力擾動的關鍵技術之一，它分為機械變剛度技術，如組合梁結構和空氣彈簧；智能材料變剛度技術，如光電材料和形狀記憶合金［16-17］。Brennan提出了一種空氣彈簧來設計一種動態吸收器，它可以通過改變氣球內壓力的大小來改變吸收器的剛度［18］。空氣彈簧承載力強，可根據實際需要進行大尺寸設計。同時，它經久耐用，具有良好的抗疲勞性能，允許較大的變形量滿足低頻率的要求。然而，空氣彈簧動力吸振器的調諧速度較慢，不能滿足高頻振動的要求。Nagaya提出了懸臂梁結構變剛度的假設，設計了懸臂梁式主動動力吸振器［19］。然而，結構的縱向尺寸不對稱且較大。除了對阻尼對象施加垂直力外，交變力矩的作用還會使阻尼對象產生意想不到的轉動。近年來，壓電陶瓷驅動器以其頻帶寬、精度高、響應速度快、重量輕等優點，在隔振領域受到了廣泛的關注［20］。Davis利用壓電陶瓷變剛度技術，提出了一種頻率漂移范圍為243~257 Hz的壓電陶瓷主動減振器［21］。Young提出了一種改變彈簧剛度的方法，通過控制壓電陶瓷的變形，調節壓電陶瓷與側壁之間的摩擦力來改變兩彈簧的耦合度，從而實現減振器的頻移［22］。充分利用了壓電陶瓷的寬頻帶和大振幅特性，避免了壓電陶瓷變形小的缺點，但其剛度變化不是線性的，難以控制。

本文提出了一種雙級驅動主動隔振系統可調反共振頻率控制器，而不是采用傳統的變剛度技術，實現反共振頻率可調，以隔離系統掃頻過程中的慣性力擾動。本文提出的雙級驅動主動隔振系統具有獨特的動態吸振特性，利用了音圈電機和壓電陶瓷驅動器的動態吸振原理，結合可調反共振頻率控制器，通過跟蹤外界干擾實現了對反共振頻率點的實時調整。

2 雙級驅動主動隔振系統設計及數學建模

2.1 雙級驅動主動隔振系統設計

在分析動態吸振原理的基礎上，設計了雙級驅動主動隔振系統樣機如圖1所示，包括有效載荷、底座、連接板、氣浮導軌、被動隔振彈簧、主動執行器音圈電機和壓電疊堆。音圈電機具有零剛度、長運動行程。然而，它只在低頻段工作，對微振動的隔振效果不夠理想。壓電陶瓷具有寬頻帶和極高分辨率的優點，但其行程只有幾十微米。本文提出了一種將壓電陶瓷和音圈電機串聯的雙級驅動器。雙級驅動器結合了二者的優點，在主動隔振系統中實現了寬控制頻帶、高分辨率、長運動行程等優點。

圖1 雙級驅動主動隔振系統原型圖Fig.1 Prototype of the designed DSA-SAVIS

設計的雙級驅動主動隔振系統原理圖如圖2所示，其中m1是有效載荷的質量，m2是音圈電機移動器、壓電陶瓷和連接板的總質量，k是被動隔振系統的剛度，fv和fp分別是音圈電機出力和壓電疊堆出力，x1，x2和xb分別是有效載荷、音圈電機的移動器和底座的位移。

圖2 雙級驅動主動隔振系統原理圖Fig.2 Schematic of the designed DSA-SAVIS

2.2 雙級驅動主動隔振系統數學模型

音圈電機的出力滿足法拉第定律：

其中：N是線圈匝數，B是氣隙的平均磁感應強度，d是線圈直徑，I是線圈的電流值，ki=NBπd是音圈電機的推力系數。

一維壓電本構方程如下：

其中：D是縱向電位移，d33是縱向壓電應變系數，σ是壓電陶瓷片的縱向應力，ε33是介電常數，E是縱向電場強度，Ep是彈性模量，ε是縱向應變。

壓電疊堆驅動器的工作電壓、縱向位移和輸出力可導出如下公式：

其中：h為疊堆致動器單層厚度，n為疊堆陶瓷層數，A為壓電陶瓷片面積，ku=AEpd33/h，為壓電疊堆的力系數，kp=AEp/（nh），為壓電疊堆的剛度。

由于壓電疊堆的剛度過大，采用壓電疊堆與彈簧串聯的方法降低了剛度。壓電疊堆驅動器的剛度可以改寫為：

雙級驅動主動隔振系統的運動方程如下：

通過將式（1）和式（5）代入式（7），并注意δ=x1-x2，動力學方程變為：

2.3 特性分析

系統是一個線性時不變系統，假設系統的初始條件為零。控制輸入為零，即I=0，U=0。公式（8）的拉普拉斯變換可以寫成：

利用xb到x1的傳遞函數來評價隔振性能。無控制器系統的傳遞函數可由（9）式導出：

圖3顯示了沒有任何控制器的系統Bode圖。系統存在兩個共振頻率，ω1和ω2。由于c值小于0.1，且分析表明是否考慮c對頻率傳遞特性影響不大。為了更清楚地表達雙級驅動主動系統的頻率傳遞特性，公式（10）等價于：

圖3 無控制器下系統伯德圖Fig.3 Bode diagram of the system without any controller

當基底振動的頻率在ω1或ω2附近時，振動被放大。當基礎振動的頻率等于ω3時，x1和xb的比值隨后變為零，振動被完全隔離。這種現象被稱為反共振，因此ω3被稱為反共振頻率。音圈電機的動子、壓電疊堆和連接裝置可視為一個動態減振器。它巧妙地結合了隔振和減振技術。它具有靜剛度大、適用于低頻隔振、隔振效率高等優點。一旦系統被確定，初始反共振頻率是固定的。如果能實時調整反共振頻率等于或接近外界干擾的主頻，則雙級驅動主動隔振系統可以獲得更好的隔振性能。

3 控制器設計與分析

3.1 控制器設計

根據圖3，控制器的設計原理由兩部分組成。一種是抑制頻率在兩個共振頻率附近的附加振動，另一種是增加一個新的反共振頻率，該頻率可通過實時跟蹤外部擾動進行調整。基于上述思想，設計了閉環控制框圖，如圖4所示。

圖4 閉環控制框圖Fig.4 Closed-loop control diagrammatic sketch

期望值xr和有效載荷位移的實際值x1之差用作控制器的輸入，輸出為線圈的電流值I和壓電疊堆的電壓值U。基座振動的主頻f，通過快速傅立葉變換（FFT）得到，作為確定新增加的反共振頻率的參考，通過輸入I和U，驅動器產生音圈電機力fv和壓電疊堆力fp作用在有效載荷上。綜上，形成一個閉環控制來隔離基座振動。

控制器的設計包含兩個從x1到I和從x1到U的傳遞函數，即H1和H2，設計如下：

其中：K，τ，ω4是所設計控制器的可調節參數。

通過對比仿真和實驗的傳遞率曲線，驗證了系統阻尼可以忽略不計。由Bode圖可知，在忽略阻尼前后，反共振頻率點處的傳遞率分別為-40 dB和-45 dB。因此（8）的拉普拉斯變換可以寫成：

將式（12）和（13）代入（14）得到控制器下系統的傳遞函數表達式：

其中：ω3和ω4分別是在章節2.3和3中定義的初始和增加的反共振頻率：

圖5是所設計控制器系統的Bode圖。與圖4相比，所提出的控制器抑制了頻率在ω1或ω2附近的額外振動。同時，在閉環系統bode圖中增加了一個可調的反共振頻率ω4，使系統在不消耗能量的情況下實現隔振。該控制方法的目的是根據外界干擾來調整反共振頻率，充分發揮動態吸振的獨特優勢。

圖5 控制器下系統伯德圖Fig.5 Bode diagram of the system with designed controller

3.2 控制器參數選擇

所設計的控制器包括三個參數，K，τ，ω4。ω4的值等于增加的反共振頻率，是由基座振動的主頻率確定。在實際應用中，系統固有的反共振頻率ω3是由系統參數所決定的，而增加的反共振頻率ω4是一個0-ω3范圍內實時可調的參數，具體數值是由通過FFT預測器獲得基座擾動的實時主頻率所決定。通過這種選取方式，使得反共振頻率點實時位于基座擾動的主頻率附近，實現基座擾動的實時跟蹤以及反共振頻率點的實時調整，從而得到最優的隔振效果。

選取狀態變量x=，控制變量u=[I U]T，擾動量，可以通過速度傳感器測量負載絕對速度作為測量輸出，即y=，得到系統的狀態空間描述：

通過李雅普諾夫穩定性判定準則的分析，得到了系統穩定的約束條件，矩陣A的特征值均具有副實部。

K和τ的最優解選擇原則為在滿足穩定約束條件的前提，實現閉環增益最小化：

其中：Gmin是閉環增益的最小值，Imax是音圈電機電流值的最大值，Umax是壓電疊堆電壓值的最大值。

Gmin由下式得到，

圖6是Gmin與K，τ的關系圖。首先，選擇三個不同的K值并設置為200，400，600。當K值固定時，得到Gmin與τ的三條關系曲線。以同樣的方式，選擇三個不同的τ值并設置為0.1×10-4，0.2×10-4，0.3×10-4。然后在τ不 變 的 情 況 下，得到Gmin與K的三條關系曲線。通過比較圖6（a）和圖6（b），我們可以得出隨著K和τ的減小，Gmin也減小。

圖6 Gmin和K，τ的關系曲線Fig.6 The relationship curves of Gmin and K，τ

從基座振動速度vb到I的傳遞函數可以寫成：

式中：b2=τa2，b3=τa3，b4=τa4，b5=τa5，b6=τa6.

vb到I的最大增益|GI|max可推導為：

從基座振動速度vb到U的傳遞函數可以寫成，

vb到U的最大增益|GU|max可推導為：

圖7顯示了|GI|max和τ的關系曲線，GImax是|GI|max的飽和值。首先，選擇三個不同的K值并設置為200，400，600。當K固定時，得到了|GI|max與τ的三條關系曲線。每一條曲線與飽和度的交點GImax是相應K下τ的期望最小值。從圖7中我們可以得出，隨著τ的減小，|GI|max反之增大。因此，由于控制信號I的范圍的限制，τ不能無限減小。

圖7 |GI|max和τ的關系曲線Fig.7 Relationship curve of|GI|max andτ

圖8為|GU|max與K的 關系曲線，GUmax為|GU|max的飽和值，首先選取三個不同的τ值，分別設為0.1×10-4、0.2×10-4、0.3×10-4。然后在τ固定的條件下，得到了|GU|max與K的三條關系曲線。從圖8中我們可以得到|GU|max與K在不同條件下的關系曲線是相同的。每條曲線與飽和度的交點GUmax是相應條件下K的期望最小值。從圖8可以看出，隨著K的減小，|GU|max反而增大。因此，由于控制信號U的范圍的限制，K不能無限減小。

圖8 |GU|max和K的關系曲線Fig.8 Relationship curve of|GU|max and K

本文提出的音圈電機的允許電流控制范圍為-1.67~1.67 A，壓電疊堆的允許電壓控制范圍為0~150 V，基座振動的最大速度為7 mm·s-1，通過以上分析，給出了控制器參數的選擇過程。首先，根據基礎振動的主頻，確定反共振頻率ω4。然后，根據公式（17）和圖6~7和圖8的結論，為使雙級驅動半動隔振系統的性能達到最佳，可適當選擇K和τ的最優解。

4 實驗驗證

圖9顯示了設計的雙級驅動主動隔振系統的樣機，其參數如表1所示。實驗系統如圖10所示，基座和有效載荷的絕對速度由GS-11D型壓電振動傳感器（美國Geospace制造）測量。GS-11D是一種高輸出、旋轉線圈檢波器，其設計和制造可承受粗暴操作帶來的沖擊。這種經過現場驗證的檢波器的精密彈簧經過計算機設計和匹配，即使在最極端的條件下也能優化性能規格。測量信號由實時目標機采集。控制器設計完成之后，并將其下載到實時目標機中。

圖9 雙級驅動主動隔振系統樣機Fig.9 Prototype of the designed DSA-SAVIS

圖10 實驗系統Fig.10 Experiment system

表1 雙級驅動主動隔振系統參數Tab.1 Parameters of DSA-SAVIS

控制信號計算輸出到驅動器，音圈電機的驅動電源TA115（由TST制造）和壓電疊堆的驅動電源RH31（由芯明天制造）。TA115的電源電壓為24~48 V，等效電機電壓最高為±43 V，控制信號電壓范圍為0~10 V，增益為0.2~0.8 A/V，實驗中我們將增益設定為0.2 A/V。通過實驗標定，RH31的控制電壓范圍為0~5 V，增益為30.75左右。兩者分別驅動音圈電機和壓電疊堆進行主動隔振控制。

4.1 頻域實驗驗證

用日本GK-2110型脈沖錘撞擊基座產生外部振動，并用941B型振動分析儀進行了檢測和分析。如圖11所示，測量沒有任何控制器的雙級驅動主動隔振系統的傳遞率。兩個共振頻率和一個反共振頻率分別約為8.8，17.5和14.3 Hz。圖12表明，用所提出的控制器消除了諧振峰。此外，在整個頻率范圍內的傳遞率小于-5 dB，當頻率在增加的反共振頻率附近時的傳遞率小于-30 dB。隨著控制器參數的變化，系統的附加反共振頻率也隨之變化。實驗結果與理論設計一致。

圖11 無控制器下系統傳遞率曲線Fig.11 Transmissibility curve of the DSA-SAVIS with‐out any controller

圖12 設計控制器下系統傳遞率曲線Fig.12 Transmissibility curve of the DSA-SAVIS with‐out designed controller

4.2 時域實驗驗證

基座外部振動是由日本脈沖錘GK-2110撞擊底座產生的。采用GS-11D型速度傳感器測量基底和有效載荷的速度。基于基座振動的快速傅里葉變換（FFT）結果以及章節3中所闡述的關于參數K和τ最優解選擇原則，設計的控制器參數設置為ω4=20，K=100和τ=0.000 01。

圖13推斷出所提出的控制器在隔離外部干擾方面取得了良好的性能。在沒有任何控制器的情況下，基本振動速度為8 mm·s-1，有效載荷振動的最大速度為4 mm·s-1，有效載荷持續振動，振動衰減緩慢。采用所設計的控制器后，有效載荷振動速度衰減較快，最大振動速度為0.5 mm·s-1，比未加控制時降低了87.5%。圖14顯示，只有音圈電機和壓電疊堆共同工作，系統才能產生良好的隔振效果。

圖13 基座與有效負載速度曲線Fig.13 Velocity curve of the base and the payload

圖14 PZT單獨工作、VCM單獨工作以及兩者共同工作的有效負載速度曲線Fig.14 Velocity curves of the payload with only PZT works，only VCM works and both PZT and VCM works

有效負載速度被用做設計控制器的輸入，輸出是音圈電機線圈的電流值I和壓電疊堆的電壓值U。圖15顯示，按照章節3中的控制器參數選擇原則，控制信號I和U不飽和，實驗達到了預期的要求，驗證了控制器參數設計的合理性。

圖15 控制信號I和U的曲線圖Fig.15 Curves of the control signal I and U

5 結 論

本文根據雙級驅動主動隔振系統獨特的動態吸振特性，提出了一種可調反共振頻率控制器。通過跟蹤外界擾動，實時調整動態吸振點，達到良好的隔振效果。該控制方法充分利用了動態吸振的共振特性。實驗結果表明，在整個頻率范圍內，閉環傳輸率小于-5 dB。在沒有任何控制器的情況下，系統的工作頻率為11.1~17.5 Hz，相應的帶寬為6.4 Hz。引入該控制器后，帶寬擴展到全頻段。此外，在附加反共振頻率附近，閉環透過率小于-30 dB，可從0 Hz調整到初始反共振頻率。增加的反共振頻率是系統有效隔振的最佳工作頻率。利用該控制器，有效載荷的擾動幅度從4 mm·s-1衰減到0.5 mm·s-1，平臺基座的沖擊擾動降低了87.5%。同時，系統可以通過跟蹤掃頻擾動實時調整反共振頻點，達到良好的隔振效果。在不同掃頻下的閉環透過率低于-25.7 dB，比未控制時降低了90.7%以上。整個系統具有反共振頻率吸振點可調、振動抑制率高、隔振頻帶寬等特點。這意味著該系統配合所設計的控制方法在半導體制造領域、超精密加工等領域具有良好的應用前景。