HP-Prime技術在數學實驗課中的應用

張玲玲 羅程

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：高中數學教學應鼓勵學生運用信息技術進行學習、探索并解決問題，如利用圖形計算器繪制冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質.

HP-Prime圖形計算器是目前應用比較廣泛的一種現代教學儀器，具有數據處理、圖形繪制、簡單編程等功能，可以用來繪制各種函數圖形，并進行動態演示、跟蹤軌跡.學生利用HP-Prime圖形計算器，在教師的問題引導下自主進行數學實驗，直觀體驗知識生成過程，能有效激發學生學習數學的興趣，培養獨立思考、自主學習、合作探究的學習態度.

本文以人教A版高中數學選修1-1“3.3.1 函數的單調性與導數”教學為例，介紹如何借助HP-Prime圖形計算器開展數學實驗課的“創課導學”.

一、基于學情的教學內容和教學目標解析

“函數的單調性與導數”數學實驗課，是人教A版高中數學選修1-1第三章《導數及其應用》中“導數在研究函數中的應用”的第一課時，教學內容主要是導數的應用，是學生在學習導數的概念、運算及幾何意義后需要進一步學習的知識.單調性是函數的重要性質之一，在人教A版數學必修1中，學生已經學會從定義的角度判定在給定區間內函數的單調性，但在作差變形環節，由于變形比較煩瑣，學生往往難以完成.學習“函數的單調性與導數”這一課，可以很好地解決這一問題，能夠加深學生對導數的理解，為后續學習函數的極值和最值奠定基礎.

教學前，我們明確了如下教學目標：①通過具體實例，使用HP-Prime圖形計算器繪制函數圖形，讓學生學會從“形”到“數”、從“數”到“形”的思維方法，探究函數單調性與導數的關系，發展直觀想象數學素養;②通過實驗探究，讓學生學會運用導數方法判斷函數的單調性，發現數學自身發展的一般規律;③開展實驗環節，通過合作探究、觀察、分析、歸納、總結，培養學生科學嚴謹、一絲不茍的研究精神，提高分析和解決問題的能力.

本課需要學生了解函數與導數的關系，但由于學生剛接觸導數的應用，利用導數研究函數性質的能力和意識還不強，因此，教師在教學中運用適當的教學手段、工具，可以讓學生的知識學習變得更為直觀形象.在本課教學中，教師借助HP-Prime圖形計算器開展數學實驗探究，先讓學生用HP-Prime圖形計算器畫出函數f （x）=x3-3x的圖象，觀察圖象的單調性;然后用HP-Prime圖形計算器找出函數圖象上任意一點的切線，觀察切線的傾斜角和斜率值的情況，從導數幾何意義的角度研究函數的單調性與導數的正負關系;再用HP-Prime圖形計算器畫出函數f （x）=x3-3x和其導函數f （x）=3x2-3的圖象，通過觀察兩個圖象，直觀感知函數的單調性與導數的正負的關系，嘗試歸納結論;最后，學生在不借助相關儀器的情況下，運用自己所歸納的結論求出函數f （x）=[exx]的單調區間.在這個教學過程中，我們進一步向學生滲透了化歸的數學思想，培養了學生解決實際問題的意識和能力.

二、基于HP-Prime的數學實驗課“創課導學”教學法應用

本課教學，我們在遵循“創課導學”教學法的“問題導向、實驗導學、目標解惑”教學路徑，通過引入HP-Prime圖形計算器，設計有梯度的問題，讓學生大膽猜想并操作儀器進行驗證，體會了知識生成的過程，感受了學習數學的樂趣.

（一）問題導向：引導學生自主展開數學實驗

問題導向，就是提出有啟發性的問題，使學生明確學習方向.在該教學環節中，教師可這樣提問：導數可以描述函數的變化趨勢，函數的單調性可以呈現函數的變化趨勢，那么導數和函數的單調性一定存在某種聯系，它們之間會有怎樣的聯系呢？學生基于這一問題，以學習小組為單位，將函數f （x）=x3-3x作為研究對象，實驗探究導數與函數的單調性的聯系，然后借助HP-Prime圖形計算器畫出該函數的圖象，嘗試求出它的導函數.

在學習過程中，學生借助圖形計算器畫出函數f （x）=x3-3x的圖象，通過探究圖象上任意一點的切線的斜率情況，比較分析研究原函數及其導函數的圖象，從而歸納出每一個指定函數的單調性和導數的正負的關系.學生在親身經歷從形到數的學習過程中，領會了數形結合的重要思想.

（二）實驗導學：通過表述實驗結論，感悟其中的數學思想

實驗操作是學生獲取新知，構建知識體系的重要途徑.在本環節教學中，我們設計了3個探究實驗，讓學生在實驗論證過程中，領悟函數的單調性和導數的正負的關系.

[實驗探究一]利用HP-Prime圖形計算器研究選定函數的單調性.

教師提出問題：若已知函數f （x）=x3-3x，你能根據它的圖象說出它的單調性嗎？（師提示操作步驟，如圖1.）學生兩兩合作繪制函數圖象（如圖2），并結合圖象說出了函數的單調性.其間，教師巡視每個小組的操作情況，對個別出現操作錯誤的小組給予幫助.這樣設計，有助于學生學會利用圖形計算器直觀感知函數圖象，從整體上分析函數的單調性，為后續研究函數的單調性和導數的正負的關系做鋪墊.

教師提出問題：根據導數的幾何意義，利用HP-Prime圖形計算器畫出原函數f （x）=x3-3x的切線，然后觀察切線的斜率情況，你們有什么發現呢？（師提示操作步驟，如圖3.）學生兩兩合作，利用圖形計算器按步驟繪制函數圖象（如圖4），觀察圖形，完成實驗報告.從導數的幾何意義入手，研究分析函數的單調性與導數的正負的關系，讓學生初步體會到數形結合的思想.

[? 操作步驟：在彈出的函數圖象下方點擊“菜單”中的“分析”，在“分析”中找到“切線”（手機版為“正切”），在相應單調區間上任意選取一點，畫出該點的切線.通過改變同一單調區間內的點的位置，觀察各點的切線的變化.

結論：①當x∈（-∞，-1）時，曲線上任意一點的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數遞增，相應的有f ′（x）? 0;②當x∈（-1，1）時，曲線上任意一點的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數遞減，相應的有f ′（x）? 0;③當x∈（1，+∞）時，曲線上任意一點的切線的傾斜角為? 角，k切? 0，函數遞增，相應的有f ′（x）? 0. ]

教師提出問題：利用HP-Prime圖形計算器畫出導函數f （x）=3x2-3的圖象，通過觀察思考，你認為原函數的單調性與導函數的正負存在什么樣的關系？（師提示操作步驟，如圖5.）學生根據步驟完成導函數圖象繪制，嘗試歸納其與原函數的關系.

[? 操作步驟：點擊“Apps”，進入“函數”功能，輸入函數f （x）=x3-3x和f （x）=3x2-3，點擊“Plot”，觀察原函數與其導函數的圖象，在相應區間內分別嘗試歸納其聯系.

結論：①在（-∞，-1），f ′（x）? 0，f （x）在（-∞，-1）內單調遞? ?;②在（-1，1），f ′（x）? 0，f （x）在（-1，1）內單調遞? ?;③在（1，+∞），f ′（x）? 0，f （x）在（1，+∞）內單調遞? ?. ]

（三）目標解惑：探幽入微，深化理解，發展學生思維能力

教學提問能讓學生更加明確學習目標，引導學生開展有效的學習.在本教學環節中，我們設計了4個有梯度的問題，讓學生對上一環節的結論進行反復驗證，不斷深化學生對原函數、導函數、單調性、單調區間等知識的認識和理解.

[問題一]思考以上實驗探究中得出的結論，你覺得這一結論是否具有一般性？

教師先讓學生利用HP-Prime圖形計算器，在同一坐標系內分別畫出下列原函數及其導函數的圖象：①y=x，②y=x2，③y=x lnx，④[y=1x.]再讓學生獨立思考，小組討論，對這些圖象進行對比分析，驗證上一環節得出的結論，嘗試自行歸納一般性規律.最后，師生共同研討，得出如下結論：一般地，對于函數f （x），如果在某區間上單調遞增，那么f （x）為該區間上的增函數;如果在某區間上單調遞減，那么f （x）為該區間上的減函數.

[問題二]根據上述結論，我們該如何用導數求出函數的單調區間呢？在不借助儀器的情況下，你能求出函數[f（x）=exx]的單調區間嗎？該函數的定義域是什么？你能求出該函數的導數嗎？

學生展開計算：首先，令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求出x的取值范圍，即函數單調遞增或遞減的區間;然后將函數[f（x）=exx]的定義域設為（-∞，0）∪（0，+∞），求出其導函數為f ′（x）=[ex（x-1）x2]，畫出此函數的大致圖象.在此基礎上，學生總結出求函數單調區間的一般步驟：①令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求x的取值范圍，明確單調區間;②求函數的定義域;③求導函數f ′（x），作圖分析;④下結論.

[問題三]你能否先用代數法求解下列函數的單調區間，然后畫出函數的大致圖象，并用HP-Prime圖形計算器進行驗證？

教師出示例題：①f （x）=x3+x，②f （x）=2x3-6x2+7.學生通過完成例題，進一步驗證了以上結論，鞏固了所學.

[問題四]通過本課學習，你有什么收獲？如果給出一個函數的解析式，你會求它的單調區間嗎？你能畫出它的大致圖象嗎？

用問題四引導學生回顧本課所學，既驗證了所得出的結論，又將分散的知識點串聯了起來，總結出了一般性規律.這是對上述教學環節的思維過程的反思，對完善學生的知識體系、提高學生的思維水平有重要促進作用.

在本課中，教師先讓學生利用HP-Prime圖形計算器畫出函數f （x）=x3-3x的圖象，在觀察圖象得出函數的極值后，再讓學生利用儀器分析圖象上任意一點的切線的斜率值，順理成章地引出函數極值與導函數零點的關系.緊接著，教師進一步讓學生借助圖形計算器繪制其他函數及其導函數的圖象，觀察函數在某點上極值的圖象特征，然后借助圖形計算器的數字視圖功能，觀察f ′（x）、f （x）隨著x的變化而變化的規律，驗證函數在極值點處導數為零及在極值點兩側導數變化的關系，進而歸納總結出求函數極值的步驟，以及函數在單調區間內變化的一般規律.

在本課教學中，學生基于教師所創設的問題情境，利用HP-Prime圖形計算器動手實踐、自主探究、合作交流，大膽猜測、小心驗證，不僅經歷了知識生成的全過程，體會了學習的樂趣，而且構建了自己的知識體系，認識了數學的本質.可以說，基于HP-Prime圖形計算器的數學實驗課，實現了以“教”為中心向以“學”為中心的課堂模式轉型.（題圖左為作者張玲玲，右為作者羅程）

（責編 蒙秀溪）