基于PAD技術(shù)的數(shù)學(xué)概念課“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”實(shí)踐

簡(jiǎn)璐 蔣香玲

“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法具有鮮明的直觀性、形象性，能將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念.下面，筆者以人教A版高中數(shù)學(xué)必修1“3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)為例，介紹“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法在數(shù)學(xué)概念課中的具體運(yùn)用.

一、教學(xué)內(nèi)容分析及數(shù)學(xué)概念課“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”授課路徑設(shè)計(jì)

系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、性質(zhì)及三個(gè)基本初等函數(shù)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)任務(wù).“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，是發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，探究函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.然而，由于學(xué)生的函數(shù)思維不夠深刻、抽象能力不足，采取傳統(tǒng)教學(xué)方法很難達(dá)成這一目標(biāo).于是，我們借助PAD技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)零點(diǎn)概念的生成與發(fā)展過(guò)程，最終達(dá)到運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的目的.

遵循“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法和概念課教學(xué)策略，我們?cè)O(shè)計(jì)了本課的教學(xué)流程（如圖1）：在“問(wèn)題導(dǎo)向”環(huán)節(jié)，通過(guò)給出具體實(shí)例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生自主探究二次函數(shù)圖象與一元二次方程的根的存在性和根的個(gè)數(shù)間的關(guān)系，引出函數(shù)的零點(diǎn)概念，向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的生成與辨析過(guò)程;在“實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”環(huán)節(jié)，借助PAD、PowerPoint2010、Excel、交互智能平板、動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板等現(xiàn)代信息技術(shù)，采取以形輔數(shù)、數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生對(duì)在“問(wèn)題導(dǎo)向”環(huán)節(jié)中獲得的知識(shí)進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)、論證，嘗試總結(jié)、提煉出一般方程與相應(yīng)函數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理、抽象概括的能力，形成函數(shù)的零點(diǎn)概念;在“目標(biāo)解惑”環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)習(xí)題，讓學(xué)生嘗試遷移運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決相關(guān)問(wèn)題，真正掌握函數(shù)的零點(diǎn)概念.

具體來(lái)說(shuō)，就是在“問(wèn)題導(dǎo)向”環(huán)節(jié)，以紅軍四渡赤水的故事導(dǎo)入，呈現(xiàn)“問(wèn)題導(dǎo)向任務(wù)單”（如圖2）.在“實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生利用PAD技術(shù)作圖和計(jì)算，自主繪制函數(shù)圖象，運(yùn)用變量思想確定參數(shù)并開(kāi)展模擬實(shí)驗(yàn)，計(jì)算函數(shù)值，探究函數(shù)的零點(diǎn)的存在性定理，生成相關(guān)概念.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、類比歸納、抽象概括等思維過(guò)程，體驗(yàn)了函數(shù)的零點(diǎn)概念的生成與發(fā)展、拓展與延伸.在“目標(biāo)解惑”環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)相關(guān)練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生研究圖形、比較數(shù)據(jù)、辨析函數(shù)值符號(hào)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，了解零點(diǎn)存在的條件，最終歸納出函數(shù)的零點(diǎn)的存在性定理.

“零點(diǎn)”作為方程與函數(shù)的結(jié)合點(diǎn)，揭示了函數(shù)與方程二者聯(lián)系的本質(zhì).因此，用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程，就是將局部問(wèn)題置于整體體系中研究，將靜態(tài)結(jié)果放在動(dòng)態(tài)過(guò)程中研究，這樣能較好地培養(yǎng)學(xué)生的整體觀、發(fā)展觀.學(xué)習(xí)本課，可為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”提供認(rèn)知基礎(chǔ).

二、基于PAD技術(shù)的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)實(shí)踐

沿著既定的教學(xué)路徑，我們?cè)诒菊n教學(xué)中設(shè)計(jì)了“情境引入，問(wèn)題導(dǎo)向→實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)，生成概念→深層推進(jìn)，辨析概念→目標(biāo)解惑，鞏固概念→簡(jiǎn)單應(yīng)用，總結(jié)提升”5個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).

（一）情境引入，問(wèn)題導(dǎo)向

師：這是歷史上著名的紅軍四渡赤水戰(zhàn)役，其中包含了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.（播完視頻后展示圖片，如圖3.）看看這張圖片，你覺(jué)得哪種情形說(shuō)明紅軍已經(jīng)渡過(guò)了赤水河？為什么？若將赤水河當(dāng)作坐標(biāo)系中的x軸，紅軍走過(guò)的路線當(dāng)作函數(shù)圖象，你覺(jué)得這和方程與函數(shù)的知識(shí)有什么關(guān)聯(lián)？

生：紅軍在1月28日、2月7日出現(xiàn)在河的兩岸，說(shuō)明已經(jīng)渡過(guò)了赤水河.如果將赤水河當(dāng)作x軸，紅軍走過(guò)的路線當(dāng)作函數(shù)圖象，則函數(shù)圖象穿過(guò)了x軸.

師：非常好！看來(lái)大家對(duì)函數(shù)和方程有了一定的了解.請(qǐng)你們?cè)倏纯催@兩個(gè)方程.（課件出示方程[x2-][2x-3=0]和[lnx+2x-6=0.]）根據(jù)前面的觀察和學(xué)過(guò)的知識(shí)，你能判斷這兩個(gè)方程有實(shí)數(shù)根嗎？你是用什么方法判斷的？

生：能.比如方程[x2-2x-3=0，]可以用判別式法、因式分解法、求根公式法進(jìn)行判斷.

師：用同樣的方法能否判斷方程[lnx+2x-6=0]的根的情況？

生：不能.

師：我們能否找到一種可以判斷各種一元方程的根的情況的方法？

教師用歷史故事創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的思想;以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，提出具有探究性、趣味性、開(kāi)放性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)抽象思維能力.

（二）實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)，生成概念

師：請(qǐng)用PAD畫(huà)出以下3個(gè)函數(shù)的圖象，觀察并完成以下任務(wù).（課件呈現(xiàn)表1.）據(jù)此，你覺(jué)得一元二次方程的根和相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)之間有怎樣的關(guān)系？（生用PAD作圖，討論后得出結(jié)論：一元二次方程有幾個(gè)根，相應(yīng)的二次函數(shù)圖象就與x軸有幾個(gè)交點(diǎn).）

師：這個(gè)結(jié)論可以推廣到一般的方程與函數(shù)嗎？請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的幾類函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，并作圖，舉例說(shuō)明.

生1：二次函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有1個(gè)根.

生2：對(duì)數(shù)函數(shù)也滿足.

生3：還有冪函數(shù).

師：（投屏學(xué)生作圖）根據(jù)你們所說(shuō)，老師做了一下提煉.若方程[f（x）=0]有實(shí)數(shù)根（x=x0），則函數(shù)[y=f（x）]的圖象與x軸有交點(diǎn)（橫坐標(biāo)x=x0）.對(duì)于這個(gè)橫坐標(biāo)，我們賦予它一個(gè)新的名稱——“零點(diǎn)”（板書(shū)零點(diǎn)的定義，略）.結(jié)合定義，你覺(jué)得函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，三者之間有什么關(guān)系？

生：三者是一樣的.

師：你說(shuō)得大致對(duì)了，但這樣說(shuō)會(huì)更準(zhǔn)確.當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)[y=f（x）]有零點(diǎn);當(dāng)x=x0時(shí)，方程[f（x）=0];當(dāng)橫坐標(biāo)x=x0時(shí)，函數(shù)[y=f（x）]的圖象與x軸有交點(diǎn).

為了加深學(xué)生的理解，教師進(jìn)一步設(shè)計(jì)了隨堂檢測(cè)題.

教師用兩道例題，讓學(xué)生進(jìn)行函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值乘積符號(hào)的比較，從中學(xué)會(huì)了判斷零點(diǎn)是否存在的方法;然后根據(jù)學(xué)生所得的結(jié)論，讓學(xué)生回歸紅軍四渡赤水的問(wèn)題并進(jìn)行繪圖演示（如圖5），解釋是否存在零點(diǎn)與紅軍是否過(guò)河的關(guān)系，驗(yàn)證結(jié)論是否正確.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)行了反向思考、多維度思考，領(lǐng)悟了“連續(xù)不斷”的含義，掌握了“零點(diǎn)存在性定理中兩個(gè)條件缺一不可”的知識(shí).

教師用一個(gè)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生借助PAD技術(shù)畫(huà)出函數(shù)圖象，完成相應(yīng)表格，通過(guò)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生學(xué)會(huì)確定函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，并設(shè)計(jì)不同的解題情境，啟發(fā)學(xué)生尋找不同的解題方法.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生“做中學(xué)，學(xué)中做”，既拓寬了解題思路，又加深了對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解，提高了數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思想.

（五）簡(jiǎn)單應(yīng)用，總結(jié)提升

教師出示兩道例題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

[例題5]請(qǐng)觀察下圖（如圖8）.這是氣象局觀測(cè)到的新疆某天的氣溫變化模擬函數(shù)圖（一個(gè)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象），由于圖中有一段圖象被墨水污染了，現(xiàn)在小明想了解當(dāng)天從a時(shí)到b時(shí)有沒(méi)有溫度是0攝氏度的情況，請(qǐng)你幫幫他.問(wèn)：有沒(méi)有可能出現(xiàn)0攝氏度的情況？為什么？如果有，可能出現(xiàn)幾次？

在解決問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步理解了確定函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，并梳理出“一組關(guān)系、兩種問(wèn)題、三種思想”，即函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)和所在區(qū)間的問(wèn)題，以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

本課以一個(gè)切合教學(xué)內(nèi)容的紅軍四渡赤水戰(zhàn)役為背景引入課題，滲透了愛(ài)國(guó)主義教育，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)熱情;然后，根據(jù)“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的理念，設(shè)計(jì)了“挖掘現(xiàn)實(shí)問(wèn)題→把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題→引入課題→形成認(rèn)知沖突→探索新知→應(yīng)用新知解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”的教學(xué)思路，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作為學(xué)生探究的對(duì)象，并結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平、認(rèn)知水平進(jìn)行設(shè)問(wèn)和引導(dǎo)，要求學(xué)生利用PAD技術(shù)探究問(wèn)題、解決問(wèn)題，嘗試總結(jié)出一般性的解題方法，提升學(xué)科核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”“函數(shù)模型及其應(yīng)用”等知識(shí)打下了良好基礎(chǔ).

這節(jié)課還告訴學(xué)生一個(gè)道理：數(shù)學(xué)知識(shí)存在于生活的每一個(gè)角落，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，要善于發(fā)掘生活、歷史、政治、科學(xué)等存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不斷提升我們的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

在落實(shí)本課教學(xué)過(guò)程中，教師既注重學(xué)科知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的對(duì)接，關(guān)注學(xué)生認(rèn)知能力、實(shí)操能力等的提升，又重視學(xué)生探究問(wèn)題習(xí)慣的培養(yǎng)，各教學(xué)環(huán)節(jié)逐層推進(jìn)、前后呼應(yīng)，有效達(dá)成了提升學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)能力和核心素養(yǎng)的目標(biāo).（題圖左為作者簡(jiǎn)璐，右為作者蔣香玲）

（責(zé)編 蒙秀溪）