三角形中的最值與范圍問題的解法探究

郭歡

摘 要：本文以2020年全國高考理科卷Ⅱ17題為母題，通過對其進(jìn)行一系列的變式，探究其在不同已知條件下解決三角形中最值與取值范圍問題的解法，總結(jié)解決此類問題的通法和策略。

關(guān)鍵詞：變式探究;解三角形;周長;面積;最值;取值范圍

新課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于透過表面的知識與技能，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生掌握內(nèi)在的數(shù)學(xué)方法。我們的教學(xué)要讓學(xué)生擺脫以題海戰(zhàn)術(shù)來掌握數(shù)學(xué)知識的模式，通過變式設(shè)問，改變題設(shè)結(jié)論，尋找解題的通性通法，做好方法歸納，題目歸類，達(dá)到做一題，學(xué)一法，會一類，通一片，從而開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和邏輯思維能力。

下面以一道高考真題及其變式為載體，展示三角形中的最值與范圍問題的具體解法，對比分析，歸納出解決此類問題的兩種基本解法，尋求兩種方法的關(guān)聯(lián)與差異。

點評：題設(shè)中對邊與對角變?yōu)橐唤羌捌溧忂叄瑯永谜叶ɡ恚瑢⑺竽繕?biāo)表示為角的三角函數(shù)，進(jìn)而求解，求解過程中注意△ABC是銳角三角形這個條件的利用。

點評：同樣從△ABC是銳角三角形這個條件出發(fā)，借助利用正弦定理，將所求目標(biāo)表示為角的三角函數(shù)，難點是借助導(dǎo)數(shù)工具求解三角函數(shù)的最值。

通過以上探究，我們不難發(fā)現(xiàn)，三角形中最值問題一方面可以利用正弦定理將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解，求解時要注意角的范圍的確定。另一方面也可由余弦定理轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系式，借助常見不等式求其最值，在使用不等式過程中，還要注意取等條件的限制，同時求取值范圍的問題，往往要借助多個不等式才能確定。在掌握解決此類問題通性通法的同時，又要結(jié)合題目本身題設(shè)條件的不同，從實際問題出發(fā)，從共性中找出個性，從中尋求到最優(yōu)解，最大限度地拓展學(xué)生的思維，使變式教學(xué)真正落到實處，做到講一題，會一類，通一片。

參考文獻(xiàn)

[1]宗仲.對三角形中的最值問題的解法探究[J].數(shù)理化解題研究，2021（07）：14-15