巧用平行線

黃旭軍

今天的數學課上，阿木老師說要學“平行線”。同學們哈哈大笑，平行線很早就學過的，誰還不會呀！

“平行線這個知識點雖說簡單，但用得好可以變成解題利器呢！”阿木老師語重心長地說。隨后他出示了一道圖形題，如右圖。

圖中ADCF是一個梯形，求陰影部分面積。

“太簡單了，陰影部分是一個平行四邊形，底是6 cm，只要知道高就行了！”數學課代表首先發言，然后畫了一個圖。

“因為梯形的上下底是一組平行線，平行線之間的距離處處相等，所以平行四邊形的邊DC上的高FI的長度和AD一樣，也是15 cm，平行四邊形的面積就是15×6=90（cm2）。”

阿木老師點點頭，接著說：“這里利用平行線轉移了線段，讓解題十分方便！”

求圖中正方形ADFG的面積。

通讀全題，我們發現正方形的邊長的具體值，很難用常規方法解，可是圖中卻標出了幾個45度角。

為了方便說明，我們設AC是a cm，CD是b cm，在等腰直角三角形ABC中，根據勾股定理可得，2（a×a）=3×3。

同理，在三角形DEC中，2（b×b）=7×7。

而正方形邊長AD=a+b，根據面積公式，經過復雜的計算，可求得正方形面積是50 cm2。

我們試著用平行線轉移條件。

如右圖，我們畫出正方形對角線，即圖中的紅線。因為正方形對角線與水平方向成45度角，而線段B′E也與水平方向成45度角，所以二者是一組平行線。

而正方形線段AG所在邊與線段DF所在邊也是一組平行線，所以紅線AF與線段B′E長度相等。

由圖中條件可知，三角形CBB′是一個等腰三角形，所以B′C=BC=3（cm）。

可得到B′E=3+7=10（cm），也就是說正方形的對角線長10 cm。

正方形面積=10×10÷2=50（cm2）

如右圖，兩個正方形邊長分別為4厘米和6厘米，求陰影部分面積。

陰影部分由兩個三角形組成，正方形對邊相等且平行，可以利用同底等高的三角形面積相等，先進行轉換。由于EC與FG平行，可以將三角形DHG轉換成如右圖的形狀。

可以先求出兩個正方形的面積和，再減去三個白色的三角形。

兩個正方形面積之和：4×4+6×6=52（平方厘米）

三角形1面積：4×4÷2=8（平方厘米）

三角形2面積：（6-4）×6÷2=6（平方厘米）

三角形3面積：（6+4）×6÷2=30（平方厘米）

陰影部分面積：52-8-6-30=8（平方厘米）

連接CF，圖中CF與BD都是正方形的對角線，都與BG成45度角，所以相互平行。三角形BDF的面積與三角形BCD的面積相等。

三角形BCD面積為4×4÷2=8（平方厘米），所以陰影部分面積就是8平方厘米。