同構并非唯一法 問題破解有良方
——對2020年新高考山東卷第21題的另解與思考

何 燈 周 寧

(1.福建省福清第三中學 350315;2.福建師范大學附屬福清德旺中學 350319)

山東省作為新高考綜合改革的先行省份，其命制的第一份新高考數學試卷引起社會廣泛關注.其中，吸引筆者更多目光的是該卷的導數壓軸題.

一、試題再現與解析

題目已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析試題第(2)問以學生熟悉的恒成立條件下求參數范圍問題呈現，乍看平淡無奇，樸實無華，細細品味后卻感覺內涵豐富，給人啟迪．

對于含參函數試題，求解的通法是參數分離法或求導法.但該題包含了以e為底的指數函數和對數函數，因指數對數相互糾纏，運用參數分離法求解無法分離出參數，運用導數法求解無法求出極值點，進一步處理困難.此類問題利用同構法往往能夠輕松破解.

所謂同構法，就是通過對不等式恒等變形，將其轉化為形如F(g(x))≥F(h(x))(或F(g(x))>F(h(x)))的結構，利用導數研究F(x)的單調性進行求解.此法不但展現了數學的對稱和諧美，更是把轉化與化歸思想體現得淋漓盡致.

下面是文[1]中利用同構法給出試題第(2)問的一個解答.

解析1 由題意f(x)≥1恒成立等價于elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx恒成立，等價于elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立.令F(x)=ex+x，則F′(x)=ex+1>0，F(x)關于x在(-∞,+∞)上單調遞增，從而elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立等價于F(lna+x-1)≥F(lnx)恒成立，等價于lna+x-1≥lnx恒成立，即lna≥lnx-x+1恒成立.

故lna≥0，a≥1，所求a的取值范圍為[1,+∞).

思考(1)上述解法構思巧妙，學生前期如果沒有經過訓練，無法完成aex-1-lnx+lna≥1到elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx的轉化，更難想到構造函數F(x)=ex+x以簡化問題求解過程；(2)求解本題，常規的參數分離法和求導法均較難奏效，那么同構法是否是求解本題的唯一方法？

針對上述思考，筆者對問題的求解展開了探究.事實上，處理含參問題還可以借助圖象的直觀特性來輔助思考，通過對aex-1-lnx+lna≥1形式的分析，筆者得到如下解法.

上述解法的巧妙之處在于充分利用了表達式的結構特點和函數圖象的特征，展現了化歸轉化思想和數形結合思想在解題中的引領作用，彰顯了試題的本質.

那么，上述方法何時適用？在使用中應注意哪些問題？

二、方法提煉

適用情況(1)參數居于兩個位置，如aex-1-lnx+lna≥1中參數a居于ex-1的系數位置及lna的真數位置；

(2)表達式中同時含有同底的指數函數及對數函數；

(3)將原不等式等價變形為y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))的形式，且y1(x),y2(x)互為反函數.

使用步驟(1)將表達式等價變形為y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))的形式；

(2)由于y1(x),y2(x)互為反函數，二者圖象關于y=x對稱，y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))恒成立等價轉化為y1(x)≥x(或y1(x)>x)恒成立；

(3)針對y1(x)≥x(或y1(x)>x)恒成立，采用參數分離法或求導法求解，得出參數的取值范圍.

三、方法應用

例1 (2019年武漢調研，2020年安徽六安一中模考)已知函數f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數a的取值范圍為( ).

A.(0,e]B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

所以a的取值范圍為(0,e2)，選擇B.

四、解題教學感悟

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次.碰到難題，我們應站在思想的高度來思考和引領方法，這樣才能從“山重水復疑無路”的窘迫中解脫，感受到“柳暗花明又一村”的欣喜.