一道高考題引發的思考與研究

趙愛華

(新疆烏魯木齊市教育研究中心 830002)

近年來，在各種重要考試中經常出現以2011年全國Ⅱ卷理科第16題為母版的試題，呈現形式多樣，選擇題、填空題、解答題均有考查，但是歷屆學生答題準確率都較低，這引起了我們的關注，并在實踐中開展了深入的探究.

一、題目呈現

二、總體分析

一般認為，本題以正弦定理為入口，考查三角函數的性質.但是命題專家在“結論AB+2BC”中的“2”上做了文章，將問題變得撲朔迷離.很多學生在最后的出口上會遇到困難.因此，必須另辟蹊徑，突破難點.既然題目在求最值的出口處設置了障礙，那么我們必須以不同的視角來研究此題，找到突破口.事實上，本題遠不止一個入口.它蘊含了豐富的教學素材，留給了教師、學生廣闊的思維空間.此模型備受專家的青睞，編制了很多翻新試題.

三、本質探究

四、解法探究

視角1 從正弦定理入手，依托三角函數性質作答.

評析本解法中，部分功底不扎實的學生會對(*)處有疑惑，φ究竟有多大？C+φ能取90°嗎？導致解題失敗.事實上，由正切函數的單調性知30°<φ<45°.從幾何角度或三角形內角和可以發現0°

視角2從余弦定理入手，利用判別式作答.

即3=c2+a2-ac.

令t=c+2a.①

即c=t-2a.②

將②代入①整理，得7a2-5ta+t2-3=0.

于是Δ=(-5t)2-28(t2-3)≥0.

評析本解法用整體處理的技巧，從二次方程的角度，構造了以目標函數為參數，邊長a為變量的二次方程，自然避開了角對問題的干擾.

視角3 從余弦定理入手，利用三角換元作答.

評析本解法恰當利用了題設轉化而得的平方關系式，借助sin2θ+cos2θ=1消元，構造自變量不受限的三角函數，解法干凈利落.

視角4 從余弦定理入手，利用極坐標作答.

解法4由解法2知，3=c2+a2-ac.

令c=ρcosθ，a=ρsinθ，代入3=c2+a2-ac,得ρ2(cos2θ+sin2θ-sinθcosθ)=3.

于是c+2a=ρ(cosθ+2sinθ)

整理，得(z-4)t2-(z+4)t+z-1=0.

于是Δ=[-(z+4)]2-4(z-4)(z-1)≥0.

評析本解法恰當應用了極坐標的極徑和角度互化功能，實現了極徑化極角，將問題等價轉化.多次函數轉化，將難點一步一步攻克，充分體現了等價轉化的數學思想的重要性.

五、一點思考

本題無論從正弦定理入手，還是從余弦定理入手，均可以順利解答.我們可否認為兩個定理是等價呢？答案是肯定的，下面證明之.

在ΔABC中，A，B，C所對邊分別為a，b，c.R為ΔABC外接圓半徑.

首先用余弦定理來推導正弦定理：

因為sin2A=1-cos2A

同理可得

其次用正弦定理來推導余弦定理：

由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

=sinBsinC-cosBcosC

=-cos(B+C)

=cosA.

這就是余弦定理的一個表達式，同理可推導另外兩個表達式.至此，我們證明了正余弦定理的等價性.在平常解題中，我們只是為了解題方便，運算簡單，在二者之間進行了選擇，理論上二者在功能上沒有本質區別.

六、變式訓練

變式1 若實數x，y滿足x2+y2-xy=3，則x+y的最大值是 ____.

說明這種變式降低了難度，應用解法1這種通解通法處理目標函數時，能夠準確找到輔助角公式的φ，因為此時的輔助角φ為特殊角，學生能恰當處理.

變式2 若實數x，y滿足x2+y2+xy=3，則x+y的最大值是 ____.

說明這種變式相當于將原題的角B換成了120°，目標函數沒有設置障礙，訓練學生舉一反三的能力.

變式3 若實數x，y滿足x2+y2-xy=3，則2x+y的最大值是 ____.

說明這種變式與原題是等價命題，系數2移動位置，不影響問題的本質與難度，恰好能體現三角形的邊AB，BC的對等性.

變式4 若實數x，y滿足x2+y2-xy=3，則2x+3y的最大值是 ____.

說明這種變式與原題也是等價命題，目標函數中系數2，3增加了問題的迷惑性，但不影響問題的本質.

說明這種變式改變了目標函數的類型，恰好能引導我們使用三角換元作答，當然別的解法也可以解答，只是沒那么快捷.

變式6 若x2+2xy+2y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為____.

說明這種變式改變了非線性可行域和目標函數的類別，但不影響問題的最值是曲線與直線相切造成的這一本質屬性.利用判別式、三角換元均可順利作答.

從而z=x2+4y2

由-1≤sin(2θ+φ)≤1，

七、教后反思

高考題教學的第一層次是講清楚題目本身，第二層次講清楚題目后進行變式訓練，第三層次是上升到“揭示問題本質”，這種“破繭化蝶”的心路蛻變歷程，過程艱難但結果美麗，對老師和學生都大有裨益.

開展深度教學勢在必行.這類問題極容易停留在解法1的認識層次上.不思索就不會全面認識問題的深刻內涵，更談不上培養學生的高階思維.我們有沒有對問題中的系數2產生疑問呢？是否揣摩了命題者的意圖呢？這些活動都能提升學生的數學思維品質.深度教學的發生離不開教學的組織與引導.我們必須克服教學過程中表面、表層、表演的局限，引導學生深層、深刻、深度學習.經歷從理論到實踐的一整套思維方式和行為模式的轉化，深度教學才能促進深度學習真實發生，才能克服同類問題反復做反復錯的現象.

“授之以魚，不如授之以漁”，在數學教學過程中，我們要擅于總結同類問題的共性，找到此類問題的解決策略，低起點，小步子，借助問題的不斷變式，逐步提升問題的難度，授予學生方法，讓學生做一道會一類，這樣我們才能做到課堂教學高效率，學生學習高成效.教學難點才能真正被突破.