結論眾多 通法何在
——2020年導數壓軸題引發的思考

謝賢祖

(華南師大附中汕尾學校 516600)

一、勤于積累，利于解題

在舊教材人教A版選修2-2第32頁的習題1.3 B組第1題涉及幾個常見的不等式.

例1 求證： sinx1+x(x≠0)，lnx0).

眾所周知，這幾個不等式非常重要，在證明函數不等式或者放縮過程中有著舉重若輕的作用，甚至有很多老師和網絡大神還總結了更多的不等式，使得它們成為解題利器，并要求學生背誦，以備不時之需，下面先梳理最為常見的和筆者自認為重要的結論并匯總如下.

證明過程較為簡單，此處從略.下面筆者先結合2020年高考導數題，分析一下解題思路，展示一下這幾個結論的妙用，再談談個人的感悟與思考.

例4(2020年山東21題·節選)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的范圍.

分析先用“必要性探路”.由題意，得f(1)=a+lna≥1.而g(a)=a+lna是增函數，且g(1)=1，由g(a)=a+lna≥g(1)?a≥1.下面先證明a=1時，f(x)≥1恒成立.當a=1時，f(x)=ex-1-lnx.由常見不等式ex≥1+x和x-1≥lnx可得ex-1≥x≥lnx+1.

所以f(x)=ex-1-lnx≥1.所以當a≥1時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

總結其實例4所考查的關鍵不等式：ex-1-lnx≥1，在2013年全國Ⅱ卷21題中考過.題目展示如下：已知函數f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時，證明f(x)>0.所以是舊題重考，略有創新.這兩道題都是經典好題，使用常見不等式鏈ex-1≥x≥lnx+1便可輕松解決，值得作為高三復習的重點素材.

令h′(x)=0，可得x=2.當x∈(0,2)時，h′(x)>0，所以h(x)在x∈(0,2)單調遞增；當x∈(2，+∞)時，h′(x)<0，所以h(x)在x∈(2，+∞)單調遞減.

例6 (2020年浙江卷22題)已知函數f(x)=ex-x-a(1

(1)證明：f(x)在(0,+∞)上有唯一零點;

(2)設x0是f(x)在(0,+∞)上的唯一零點，證明：

②x0f(ex0)≥(e-1)(a-1)a.

總結上述解法用到常見不等式ex≥1+x,ex≥ex，但是如何想到使用這兩個不等式而不使用其它以及如何優雅的一路暢通證明不等式，是需要經過不斷嘗試、遇到挫折、再調整才能想到的.

二、追本溯源，總結反思

1.恒成立問題首選分離參數，這是比較好想的，但并不是什么時候都能做出，所以還需引導學生如果遇到困難，就要調整策略，這應該也要成為解題的“通用思維”.而通過“代點”“必要性探路”“先猜后證”來解決恒成立問題也是非常體現數學思想的，應該納入“通性通法”的范疇.

2.構造函數、求導、因式分解、判斷導函數符號、結合畫圖、討論單調性再用之解題應該成為永恒不變的主旋律.如果一次求導不能解決問題則可以嘗試多次求導，這也是正常操作，如果多次求導后還解決不了問題則需要另尋出路.

3.零點存在性定理是證明函數零點存在的通用方法，也是“卡根”“求根的范圍”的重要手段.

4.對要證明的不等式進行變形、轉化直到找到證明思路是正常手段，如果在轉化過程中出現自己總結過的常見不等式，則單獨“抽出”并證明，所以平時多積累常見不等式或者自己不小心發現的“小結論”無可厚非，但對于一些不常見、不優雅、無規律的不等式只需見過就好，不必強求記憶.