多措并舉突破導數壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

多年來，導數在高考中是熱點，也是難點，考查越來越靈活，呈現形式越來越多樣，且以解答題的形式呈現.新疆2021年普通高考第一次適應性檢測試卷中，導數依然是難點，特別是第(2)問，學生得分率非常低，很多同學感覺無從下筆，甚至放棄作答.筆者嘗試著從不同的視角出發，以不同的解法突破了此題，現分享于此，以饗讀者.

一、題目呈現

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若不等式kx+lnx≤x2f(x)-1在(0,+∞)上恒成立，求實數k的取值范圍.

二、宏觀分析

本題是含參問題，關于字母參數求解問題是學生普遍感到困難的問題.在高考的一輪復習中，學生已經接觸了一些相對簡單的導數題，也掌握了一些解題方法，比如分離變量法、構造函數，利用單調性處理問題，還有導數的幾何意義等.因此，我們試著遵循學生的認知規律和已有的知識結構，從這些方面入手剖析問題.

三、試題解答

視角1利用分離變量法、構造法，借助隱零點求解.

整理,得x0+lnx0=(-lnx0)+ln(-lnx0).

并且當x∈(0,x0)時，g′(x)<0；當x∈(x0，+∞)時，g′(x)>0.

從而得出k≤1.

評注隱零點是指一個函數存在零點，但無法具體求解出來.本解法涉及到了隱零點問題.隱零點問題通常在?？蓟蚋呖嫉目碱}中以壓軸題的形式呈現，學生往往不容易得分.此解法還有一個關鍵點就是根據隱零點得到的等式不常見，如何構造恰當的函數，進一步得出更簡潔的結論，也是值得深思和歸納總結的.一般是將抽象化具體，超越化初等.

視角2 利用公切線,數形結合求解.

評注解法2體現了數形結合思想在解題中的應用.如何在高中數學教學中靈活應用數形結合，以形助數，是每一位數學教育工作者和一線數學教師應該思考的問題.數學家華羅庚有句至理名言：數形結合萬般好，隔離分家萬事休.因此在解題中，我們需要盡可能地將幾何圖形及數量關系有機地結合起來，才能達到事半功倍的學習效果.

視角3 借助常用結論構造函數，借助單調性求解.

因此問題轉化為求F(x)的最小值即可.

為了解決問題的方便，我們還需新構造函數g(x)=ex-x-1，g′(x)=ex-1，顯然x∈(0,+∞)時，g′(x)>0恒成立.所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增，g(x)≥g(0)=0，所以ex≥x+1.從而ex+lnx≥(x+lnx)+1.

所以F(x)min=1.

從而得出k≤1.

評注解法3解決問題的關鍵在于根據變形得到的代數形式，構造恰當的具體函數，求導后確定新構造函數在指定區間上的單調性，再結合題意解決問題.這就需要在平時的解題中有意識地歸納總結一些常用結論(本例用到了ex≥x+1)，進行必要的證明之后就可以作為相應解答題的關鍵點和突破口.當然從以上的解題中發現還需要進行恰當的變形，這是更高層次和更高能力的要求.

四、解題反思

從以上的解題中不難發現，數學思想方法在導數壓軸題的解題中貫穿始終.構造函數的思想，數形結合的思想在解題中也體現得淋漓盡致，而將不等式問題轉化為求函數的最值問題也充分展現出來了，還有化歸與轉化的思想也必不可少.因此，通過此題的解析與探究，我們應該有更深入的思考.在今后的教育教學中，需要逐步滲透數學思想方法，啟發學生多思考、多提煉、多總結，吃透問題的本質和合適的解題策略，期待能夠突破導數壓軸題.