跨界學科可聯姻 還原數列見本質
——由強基計劃到八省聯考

趙彥青 石富中

(河北省張家口市尚義縣第一中學 076750)

俗話說，工欲善其事必先利其器.物理中有很多的問題都需要數學思想來解決.筆者在某名牌大學強基計劃的物理試卷中，發現其中蘊含數列的思想.

一、問題呈現

問題如圖1所示無線網絡電路中，所有電阻阻值均為R，則A,B兩端的等效電阻R等=____.

本題中，從右向左依次遞進進行計算，第一級為R串聯2R再并聯一個R，記為R1；第二級為R1串聯2R再并聯一個R，記為R2；第三級為R2串聯2R再并聯一個R，記為R3，依次類推，結果如下：

二、問題引申

事實上,題目中可以引申出一個數學問題：數列的遞推公式推導通項公式.

分析數列{an}和{bn}有一個共同的遞推公式:an+2=4an+1-an,bn+2=4bn+1-an,到此,問題轉化為數列中經典的“二階遞推”問題.這個問題我們可以采用二階遞推之特征方程法.

由a1=1,a2=3,

三、應用舉例

例1 (2021年八省聯考)已知各項都為正項的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明：數列{an+an+1}為等比數列；

解析(1)由an+2=2an+1+3an，得an+2+an+1=3(an+1+an).

(2)方法1(特征方程法)x2=2x+3(特征方程)，解得x1=3或x2=-1.(恰好為以上兩個數列公比)

方法3 由(1)知an+1+an=2·3n-1.

由題知an+2=2an+1+3an.

四、知識儲備

儲備1 數列的遞推公式：an+2=c1·an+1+c2·an，設有r,s使an+2-ran+1=s(an+1-ran)，所以an+2=(r+s)·an+1-s·ran.得c1=r+s,c2=-sr,消去s,得r2=c1r+c2(特征方程).

儲備2 已知an+2=c1·an+1+c2·an,則其特征方程為x2-c1x-c2=0，若方程有兩個相異根α,β，則an=A·αn+B·βn.若方程有兩個相等根α=β，則an=(A+Bn)·αn.

五、感悟

感悟1 對于高階線性遞推數列和分式線性遞推數列，我們也可以借鑒上面的方法求得通項公式.

感悟2特征根法(不動點法).