形式花樣迷人眼 撥開云霧見分明
——淺析定義型試題的分類解答

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

自深化高考改革以來，高考考查從知識立意轉(zhuǎn)移到能力立意上，特別是隨著新教材中研究性課題的引入，高考也加強了對創(chuàng)新意識的考查力度.所謂創(chuàng)新就是對新穎的信息、情境，能選擇有效的方法和手段，綜合地運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的方法.在高考中經(jīng)常可見一類題型的考查，即定義型試題，這些試題時常令部分學(xué)生束手無策，尤其是平時依賴于題型套路解題的這類學(xué)生更是如此.從平時的高考題中可將此類定義型試題分為三類：機械型定義題、拓展型定義題、概念型定義題，下面通過一些實例來淺析試題的分類解答.

一、機械型定義題

所謂機械型定義題，就是所給信息以一種運算形式，按照給定的運算規(guī)則進行運算，此類問題按部就班進行運算就可得到正確結(jié)果，一般易解答.

例1 對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d)，規(guī)定：(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；運算“?”為：(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad)；運算“⊕”為：(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)，設(shè)p,q∈R，若(1,2)?(p,q)=(5,0)，則(1,2)⊕(p,q)=( ).

A.(4，0) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，-4)

分析解決此題的關(guān)鍵主要是對“?” “⊕”兩種運算符所表達(dá)的運算理解是否正確.

解析由(1,2)?(p,q)=(5,0)，結(jié)合(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad)，得 (p-2q,2p+q)=(5,0).

根據(jù)規(guī)定,得p-2q=5,2p+q=0.

故p=1,q=-2.

由(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),得(1,2)⊕(p,q)=(2,0).故選B.

例2 設(shè)集合S={A0,A1,A2,A3}，在S上定義運算“⊕”為：Ai⊕Aj=Ak，其中k為i+j被4除的余數(shù)，i,j=0,1,2,3.則滿足關(guān)系(x⊕x)⊕A2=A0的x(x∈S)的個數(shù)為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

分析本題是對⊕的運算及下標(biāo)的正確理解.

解析根據(jù)題意“⊕”的運算為Ai,Aj間的運算，因此設(shè)x⊕x=Ak，則(x⊕x)⊕A2=A0變?yōu)锳k⊕A2=A0.由k=0,1,2,3，結(jié)合余數(shù)為0，則k=2.即x⊕x=A2.

又被4除的余數(shù)為2，故x=A1或x=A3，故選B.

二、拓展型定義題

所謂拓展型定義題，根據(jù)題目所給的信息與我們所學(xué)的知識具有一定的類似性，希望利用所學(xué)知識中類似的方法靈活變通地去求在新定義下的結(jié)論.

例3定義集合A-B={x|x∈A且x?B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，則N-M為( ).

A.MB.NC.{6} D.{1,2,4,5}

分析借助于集合運算，得出新的集合運算形式.

解析根據(jù)A-B的定義，N-M表示為集合N中的元素除去在M中的元素，因此N-M={6}.

例4 對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1| ，給出下列三個命題：①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||;②在△ABC中，若∠C=90°,則||AC||2+||CB||2=||AB||2;③在△ABC中，||AC||+||CB||>||AB||.其中真命題的個數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

分析本題是對“距離”的一種新定義，結(jié)合原有距離概念下的相關(guān)知識，獲得結(jié)論進行拓展是否也同樣成立.

解析1 對于①，若點C在線段AB上，設(shè)點C坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0在x1，x2之間，y0在y1，y2之間，所以||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x1-x2|+|y1-y2|=||AB||成立，故①正確.

對于②，在直角坐標(biāo)系下如圖1所示，||AC||=c+d,||CB||=a+b,||AB||=e+f，則||AC||2=c2+d2+2cd，||CB||2=a2+b2+2ab.

結(jié)合圖形，a+c=f,d-b=e,||AB||2=e2+f2+2ef=(d-b)2+(a+c)2+2(b-d)(a+c)，顯然||AC||2+||CB||2=||AB||2不一定成立，此命題不成立.

對于③，在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|,利用不等式|a|+|b|≥|a±b|,得||AC||+||CB||≥|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故③不一定成立.所以真命題的個數(shù)為1，故選B.

解析2 本題中的②③真假判斷可用賦值法進行甄別，如②：取A(-1,2),B(4,2),C(0,0)，顯然，||AC||2+||CB||2>||AB||2;③取A(-1,0),B(0,1),C(0,0)，顯然||AC||+||CB||=||AB||.

三、概念型定義題

所謂概念型定義題，簡單地講就是對一個題目的新包裝，只是一個名稱，具體還是要利用原有的知識和方法來求解，此類型不在于具體稱作什么，僅僅是個代號.

A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②

綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.故選A.

例6 一個函數(shù)f(x)，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a,b,c都在f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a),f(b),f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.

解析(1)f1(x),f2(x)是“保三角形函數(shù)”，f3(x)不是“保三角形函數(shù)”.

對于f3(x)，3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但32+32<52，所以不存在三角形以32,32,52為三邊長，故f3(x)不是“保三角形函數(shù)”.

總之，對于定義型試題的求解，關(guān)鍵還是如何正確理解題意，從中獲取有用的信息，在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把握運算規(guī)則，從而有效解決問題.